命题：沈微微 周赛君 审题：钟坚毅

满分[ 150]分 ，时间[120]分钟 2013年11月

选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的）

1．已知集合
，
，则集合
（ ▲ ）

A．
B．
C．
D．

2．复数
的虚部为（ ▲ ）

A．
B. C. D.

3．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为63，则判断框中应填（ ▲ ）

A．
B．
C．
D．

4．命题“
”为真命题的一个充分不必要条件是

（ ▲ ）

A．
B.
C.
D.

5．设
表示三条不同的直线，
表示两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ▲ ）

A．如∥，
，则∥；

B．如
，则
；

C．如
，则
；?

D．如∥，∥
，
，则∥．

6．若
，则
（ ▲ ）

A．
B．
C．
D．3

7．数列
满足
，
，则
（▲ ）

A．
B．
C．
D．

8．用1，2，3，4，5，6组成数字不重复的六位数，满足1不在左右两端，2，4，6三个偶数中，有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为（▲ ）

A．
B．
C．
D．

9．棱长为1的正方体
中，点
分别是线段
（不包括端点）上的动点，且线段
平行于平面
，则四面体
的体积的最大值是（ ▲） A．
B．
C．
D．

A．12 B．13 C．14 D．15

二、填空题（本大题共7小题，每题4分，共28分）

11．
的展开式中的常数项为 ．

12．一个正四棱锥的所有棱长均为2，其俯视图如右图所示，则该正

四棱锥的正视图的面积为 ．

13．设
满足约束条件
若目标函数
的最大值为1，则
的最小值为 ．

14．若
为
内一点，且满足
，则
与
的面积之比为 ．

15．函数
在
上的最小值为
，则实数的取值范围为 ．

16．过椭圆
上一点
作圆
的两条切线,点
为切点.过
的直线
与轴,轴分别交于点
两点, 则
的面积的最小值为 ．

17．设为实数，定义{}为不小于的最小整数，例如{5.3}=6，{-5.3}=-5，则关于的方程{3+4}=2+
的全部实根之和为 ．

三、解答题（本大题共5小题,共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

18．（本题满分14分）

已知向量
，
，函数
．

（I）若方程
在
上有解，求的取值范围；

（II）在
中，
分别是
所对的边，当
且
时，求的最小值．

19．（本题满分14分）

某单位的联欢活动中有一种摸球游戏，已知甲口袋中大小相同的3个球，其中2个红球，1个黑球；乙口袋中有大小相同的2个球，其中1个红球，1个白球．每次从一只口袋中摸一个球，确定颜色后再放回．摸球的规则是：先从甲口袋中摸一个球，如果摸到的不是红球，继续从甲口袋中摸一个球，只有当从甲口袋中摸到红球时，才可继续从乙口袋里摸球．从每个口袋里摸球时，如果连续两次从同一口袋中摸到的都不是红球，则该游戏者的游戏停止．游戏规定，如果游戏者摸到2个红球，那么游戏者就中奖．现假设各次摸球均互不影响．

（I）一个游戏者只摸2次就中奖的概率；

（II）在游戏中，如果某一个游戏者不放弃所有的摸球机会，记他摸球的次数为
，求
的数学期望．

20．（本题满分14分）

中，
，以
的中线
为折痕，将
沿
折起，构成二面角
．在面
内作
，且
．

（I）求证：
∥平面
；

（II）如果二面角
的大小为
，求二面角
的余弦值．

21．（本题满分15分）

已知椭圆
：
的左、右焦点和短轴的两个端点构成边长为2的正方形．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）过点
的直线
与椭圆
相交于，两点．

点
，记直线
的斜率分别为
，

当
最大时，求直线
的方程．

22．（本题满分15分）

已知函数
．

（I）当
时，过点
作曲线
的切线，求切线的方程；

（II）讨论函数
在
的单调性；

（III）当
时，证明：
．

嘉兴市第一中学2013学年第一学期期中考试

高三数学（理科） 答题卷

满分[150 ]分 ，时间[120 ]分钟 2013年11月

一、选择题(每小题5分)

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

























二、填空题(每小题4分)

11. ， 12. ，

13. ， 14. ，

15. ， 16. ，

17. .

三、解答题

18. （本题满分14分）

已知向量
，
，函数
．

（I）若方程
在
上有解，求的取值范围；

（II）在
中，
分别是
所对的边，当
且
时，求的最小值．

19. （本题满分14分）

某单位的联欢活动中有一种摸球游戏，已知甲口袋中大小相同的3个球，其中2个红球，1个黑球；乙口袋中有大小相同的2个球，其中1个红球，1个白球．每次从一只口袋中摸一个球，确定颜色后再放回．摸球的规则是：先从甲口袋中摸一个球，如果摸到的不是红球，继续从甲口袋中摸一个球，只有当从甲口袋中摸到红球时，才可继续从乙口袋里摸球．从每个口袋里摸球时，如果连续两次从同一口袋中摸到的都不是红球，则该游戏者的游戏停止．游戏规定，如果游戏者摸到2个红球，那么游戏者就中奖．现假设各次摸球均互不影响．

（I）一个游戏者只摸2次就中奖的概率；

（II）在游戏中，如果某一个游戏者不放弃所有的摸球机会，记他摸球的次数为
，求
的数学期望．

20. （本题满分14分）

中，
，以
的中线
为折痕，将
沿
折起，构成二面角
．在面
内作
，且
．

（I）求证：
∥平面
；

（II）如果二面角
的大小为
，求二面角
的余弦值．

21. （本题满分15分）

已知椭圆
：
的左、右焦点和短轴的两个端点构成边长为2的正方形．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）过点
的直线
与椭圆
相交于，两点．

点
，记直线
的斜率分别为
，

当
最大时，求直线
的方程．

22. （本题满分15分）

已知函数
．

（I）当
时，过点
作曲线
的切线，求切线的方程；

（II）讨论函数
在
的单调性；

（III）当
时，证明：
．



一、选择题(每小题5分)

二、填空题(每小题4分)

三、解答题

18. （满分14分）

解：(1)

(2)的最小值为1

19. （满分14分）

解：从甲口袋中摸一个球，摸到的球是红色球的概率为
；从乙口袋中摸一个球，摸到的球是红色球的概率为
．

（1）一个游戏者只摸2次就中奖，说明他第一次从甲口袋摸到的是红球，第二次从乙口袋中摸到的也是红球，所以其概率为
；

（2）
可取
．用表示“从甲口袋中摸1个球，摸到的是红球”，用
表示“从甲口袋中摸1个球，摸到的不是红球”，则
；用表示“从乙口袋中摸1个球，摸到的是红球”，用
表示“从乙口袋中摸1个球，摸到的不是红球”，则
．

；

；

．

2

3

4













所以
的分布列为：

．

20. （满分14分）

解：（1）由
得
，所以
为等腰直角三角形，由为
的中点得
，以
的中线
为折痕翻折后仍有
，因为
，所以
∥
，又
平面
，
平面
，所以
∥平面
．

（2）如果二面角
的大小为
，由
得
平面
，因此
，又
，所以
平面
，从而
．由题意
，所以
中，
．设
中点为，因为
，所以
，且
，设
中点为，则
∥
，由
得
，所以
为二面角
的平面角，连结
，在
中，因为
，所以
．在
中
，于是在
中，
．在
中，
，所以在
中，
．因此二面角