珠海市2013-2014学年度第一学期期末学生学业质量监测

高三文科数学试题

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.

1、设全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，2，4}，B＝{2，3，4}，则
＝（　　）

A、{2， 4}　　　 B、{1，3}　　C、{1，2，3，4}　　D、

2、若复数
是纯虚数，则实数a的值为（　　）

　A、1　　　　　　B、2　　　　 C、1或2　　　　　D、－1

3、执行如右图所示的程序框图，则输出的i＝（　　）

A、5

B、6

C、7

D、8

4、学校为了解学生课外读物方面的支出情况，抽取了n个同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在[10，50）（单位：元），其中支出在[10，30）（单位：元）的同学有33人，其频率分布直方图如右图所示，则支出在[40，50）（单位：元）的同学人数是（　　）

A、100

B、120

C、30

D、300

5、已知
均为单位向量，它们的夹角为60°，那么

6、在△ABC中，A：B：C＝1：2：3，则a：b：c等于（　　）

A、1：2：3　　　B、3：2：1　　

C、1：
：2　　D、2：
：1

7、一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是（　　）

A、108　　　　　B、180

C、72　　　　　 D、144

8、等比数列
共有奇数项，所有奇数项和
，所有偶数项和
，末项是19，则首项

　A、1　　　　　B、2　　　　　C、3　　　　　　　D、4

9、已知
，则

10、对定义域为D的函数，若存在距离为d的两条平行直线l1：y=kx+m1和l2：y=kx+m2，使得当x∈D时，kx+m1≤f（x）≤kx+m2恒成立，则称函数f（x）在（
D）有一个宽度为d的通道。有下列函数：

①f（x）=
；②f（x）=sinx；③f（x）=
；④f（x）=x3+1。其中在[1，+∞）上通道宽度为1的函数是（　　）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置.

11.变量
满足线性约束条件
，则目标函数
的最大值为 ．

12.曲线
在点
处的切线方程为 ．

13.定义在
上的函数
满足
，则
．

14．（坐标系与参数方程选做题）已知在平面直角坐标系
中圆
的参数方程为：

，（
为参数），以
为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为：
则圆
截直线所得弦长为

15．（几何证明选讲选做题）如右图，
是圆
的直径，
是圆
的切线，切点为
，
平行于弦
，若
，
，则
.

三、解答题:本题共有6个小题，共80分．

16.（本小题满分12分）已知
，

（1）求
的值；

（2）当

时，求
的最值．

17.（本小题满分12分）城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求，为此，某市公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成5组，如下表所示（单位：min）：

组别

候车时间

人数



一



2



二



6



三



4



四



2



五



1



（1）求这15名乘客的平均候车时间；

（2）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；

（3）若从上表第三、四组的6人中选2人作进一步的问卷调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率．

18.（本小题满分14分）如图，在三棱柱
中，四边形
为菱形，
，四边形
为矩形，若
，
，
.

求证：
//平面
；

(2)求证：
面
；

(3)求三棱锥
的体积.

（本小题满分14分）

已知数列
的各项都是正数，且对任意
都有
，其中

为数列
的前
项和.

（1）求
；

（2）求数列
的通项公式；

（3）设
，对任意的
，都有
恒成立，求实数
的取值范围.

20.（本小题满分14分）已知函数
．

（1）求
的极值点；

（2）对任意的
，记
在
上的最小值为
，求
的最小值．

21．（本小题满分14分）已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
为原点.

（1）如图1，点
为椭圆
上的一点，
是
的中点，且
，求点
到
轴的距离；

（2）如图2，直线
与椭圆
相交于
两点，若在椭圆
上存在点
，使四边形
为平行四边形，求
的取值范围．

珠海市2013-2014学年度第一学期期末学生学业质量监测

高三文科数学试题参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.

1-5：BBBCC 6-10：CBCDA

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置.

11.

12.．

13.

14．

15．

三、解答题:本题共有6个小题，共80分．

16.解: (1)
…………………………………1分

………………………………………………2分

……………………………………………………4分

…………………………………………6分

(2)
，
………………………………………8分

………………………………………………10分

………………………………………………11分

，
……………………………………………12分

17.解：

（1）

min．--------3分

（2）候车时间少于10分钟的概率为
， --------4分

所以候车时间少于10分钟的人数为
人． --------6分

（3）将第三组乘客编号为
，第四组乘客编号为
．从6人中任选两人有包含以下基本事件：
，

，

，

，

， ------------10分

其中两人恰好来自不同组包含8个基本事件，所以，所求概率为
． --------12分

18.(1)．证明：
四边形
为矩形，

……………………………1分

平面
，
平面

//平面
………………………………3分

（2）证明：在
中
，
，
，

满足
，所以
，即
…………………5分

又因为四边形
为矩形，所以

又
，所以

又因为
，所以
……………………………7分

又因为四边形
为菱形，所以

又
，所以

………………………………………………………9分

（3）解：过
作
于
，

由第（1）问已证

…………………………10分

…………11分

由题设知
…………………12分

………………………13分

三棱锥
的体积是
…………………………………14分

19、解：（1）令
，则
，即
，所以
或
或

又因为数列
的各项都是正数，所以
…………………………………2分

令
，则
，即
，解得
或
或

又因为数列
的各项都是正数，所以
……………………………4分

（2）

由
得

化简得到
………………………………………7分

由
得

化简得到
，即

当
，所以
………………………………9分

所以数列
是一个以
为首项，
为公差的等差数列

…………………………………10分

（3）

因为对任意的
，都有
恒成立，即有

化简得
………………………………………12分

当
为奇数时，
恒成立，
，即

当
为偶数时，
恒成立，
，即

………………………………………………………14分

20. 解：（1）
………（1分）

由
解得：
……（2分）

当
或
时，
……（3分）

当
时，
……（4分）

所以，有两个极值点：

是极大值点，
； ……（5分）

是极小值点，
。 ……（6分）

(2) 过点
做直线
，与
的图象的另一个交点为A
，则
,即
…（8分）

已知有解
，则

解得
……（10分）

当
时，
；
……（11分）

当
时，
，
，

其中当
时，
； ………（12分）

当
时，
　　…（13分）

所以，对任意的
，
的最小值为
（其中当
时，
）．…（14分）

21．解：(1)由已知得
，

设
,则
的中点为

，……………………………………………3分

即

整理得
……………………① …………………………4分

又有
…………………………………②

由①②联立解得
或
(舍) …………………………………5分

点
到
轴的距离为
………………………………………6分

(2)设
，
，

四边形
是平行四边形

线段
的中点即为线段
的中点，即
，
………………7分

点
在椭圆上，

即

化简得
………………③

……………………9分

由
得

由
得
……………………④

且
………………………11分

代入③式得

整理得
代入④式得
，又

或

的取值范围是
…………………14分