湖南省岳阳县一中2014-2015年度上学期高二期末考试试题文科数学

命题：罗时九 审题：张华武

一、选择题(每小题5分，共50分，将答案写在答题卡上)

1．函数
的定义域为 （ ）

A．
B．
C．
D．

2．曲线
在
处的切线斜率为 （ ）

A.
B. C.
D.

3．已知
，
，若
，那么
与
在同一坐标系内的图像可能是 （ ）

4．下列命题错误的是 ( )

A．命题“若
，则
”的逆否命题为“若
，则
”．

B．若命题
，
，则“
”为：
．

C．“
”是“
”的充分不必要条件．

D．若命题p：
或
；q：
或
，则
是
的必要不充分条件．

5．三个数
的大小关系为 （ ）

A．

B．

C．

D．

6．根据右边程序框图，当输入10时，输出的是 （ ）

A ．12 B．19 C．14．1 D．30

7．设条件p：
；条件q：
，那么p是q的 （ ）

A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

8．某班有学生52人，现用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，

已知座位号为6号，32号，45号的同学都在样本中，那么样本中还有

一位同学的座位号是

A. 19 B. 16 C. 24 D. 36

9．若定义在R上的函数f(x)的导函数为
，且满足
，则
与
的大小关系为（ ）.

A、
<
B、
=

C、
>
D、不能确定

10．已知F是双曲线
的左焦点，E是双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABE是锐角三角形，则双曲线的离心率e取值范围是( )

A．(1，+∞) B．(1,2) C．(1,1+
) D．(2,1+)

二、填空题（每小题5分，共25分，将答案写在答题卡上）

11．已知全集
，则
．

12．过抛物线
的焦点作倾斜角为
直线
，直线
与抛物线相交与，两点，则弦
的长是 ．

13．已知y＝x3＋bx2＋(b＋2)x＋3是R上的单调增函数，则b的取值范围是 ．

14．已知矩形
中，AB＝2，BC＝1，在矩形
内随机取一点
,则
的概率为 ．

15. 已知直线
与函数
的图象恰好有3个不同的公共点，则

实数m的取值范围是

三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

16．已知函数
.

（Ⅰ）求函数的增区间； （Ⅱ）求函数在区间
上的最大值和最小值.

17．（本小题满分12分）

有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次．根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：

组别

A

B

C

D

E



人数

50

100

150

150

50



 (1)为了调查评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组抽取了6人，请将其余各组抽取的人数填入下表.

组别

A

B

C

D

E



人数

50

100

150

150

50



抽取人数



6









 (2)在(1)中，若A，B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．

18．已知命题：方程
表示焦点在轴上的椭圆；命题：方程
表示双曲线，且离心率
，若命题
为假命题，
为真命题，求实数
的取值范围。

19. 已知定义域为的函数
是奇函数．

（1）求
的值；

（2）用定义法证明函数
在上是减函数；

（3）若对任意的
，不等式
恒成立，求
的取值范围．

20. （本小题满分13分）已知函数
为自然对数的底数）

（1）求函数
的最小值；

（2）若
≥0对任意的x∈R恒成立，求实数a的值；

（3）在（2）的条件下，证明：

21．已知椭圆C:
的离心率为
，以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线
相切.

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）若直线L：
与椭圆C相交于A、B两点，且
，求证：
的面积为定值.

文科数学答案

一、选择题(每小题5分，共50分，将答案写在答题卡上)

1．函数
的定义域为 （ ）

A．
B．
C．
D．

【答案】C

2．曲线
在
处的切线斜率为（ ）

A.
B. C.
D.

【答案】D

3．已知
，
，若
，那么
与
在同一坐标系内的图像可能是

【答案】C

4．下列命题错误的是 ( )

A．命题“若
，则
”的逆否命题为“若
，则
”．

B．若命题
，
，则“
”为：
．

C．“
”是“
”的充分不必要条件．

D．若命题p：
或
；q：
或
，则
是
的必要不充分条件．

【答案】D

5．三个数
的大小关系为（ ）

A．
B．

C．
D．

【答案】D

6．根据右边程序框图，当输入10时，输出的是 （ ）

A ．12 B．19

C．14．1 D．30

【答案】C

7．设条件p：
；条件q：
，那么p是q的 （ ）

A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

8．某班有学生52人，现用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知座位号为6号，32号，45号的同学都在样本中，那么样本中还有一位同学的座位号是

A. 19 B. 16 C. 24 D. 36

【答案】A

9．若定义在R上的函数f(x)的导函数为
，且满足
，则
与
的大小关系为（ ）.

A、
<
B、
=

C、
>
D、不能确定

【答案】C

10．已知F是双曲线
的左焦点，E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围为 ( )

A．(1，+∞) B．(1,2) C．(1,1+
) D．(2,1+)

【答案】B

第II卷（非选择题）

二、填空题（每小题5分，共25分，将答案写在答题卡上）

11．已知全集
，则
．

【答案】

12．过抛物线
的焦点作倾斜角为
直线
，直线
与抛物线相交与，两点，则弦
的长是 ．

【答案】16

13．已知y＝x3＋bx2＋(b＋2)x＋3是R上的单调增函数，则b的取值范围是 ．

【答案】 －1≤b≤2

14．已知矩形
中，AB＝2，BC＝1，在矩形
内随机取一点
,则
的概率为 ．

【答案】

15. 已知直线
与函数
的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m的取值范围是

【答案】(
，＋∞)

【解析】试题分析：在同一直角坐标中，画出
和
的图像，根据图象可知：当
时有一个交点，若满足有三个不同的交点，当
需满足
与
有两个不同的交点，即
有两个不等的正根，即
有两个不等的正根,由
即
解得
.

考点：1.分段函数的图像；2.图像的交点个数问题；3.二次方程根的情况.

三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

16．已知函数
.

（Ⅰ）求函数的增区间； （Ⅱ）求函数在区间
上的最大值和最小值.

解：

（1） 增区间
和

（2）
解得
------------------------8分

-------------------------------10分

∴
------------------------------12分

17．（本小题满分12分）

有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次．根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：

组别

A

B

C

D

E



人数

50

100

150

150

50



 (1)为了调查评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组抽取了6人，请将其余各组抽取的人数填入下表.

组别

A

B

C

D

E



人数

50

100

150

150

50



抽取人数



6









 (2)在(1)中，若A，B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．

解析：　(1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽取的人数如下表：

组别

A

B

C

D

E



人数

50

100

150

150

50



抽取人数

3

6

9

9

3



 (2)记从A组抽到的3位评委分别为a1，a2，a3，其中a1，a2支持1号歌手；从B组抽到的6位评委分别为b1，b2，b3，b4，b5，b6，其中b1，b2支持1号歌手，从{a1，a2，a3}和{b1，b2，b3，b4，b5，b6}中各抽取1人的所有结果如图：

由树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a1b1，a1b2，a2b1，a2b2共4种，故所求概率P＝＝.

18．已知命题：方程
表示焦点在轴上的椭圆；命题：方程
表示双曲线，且离心率
，若命题
为假命题，
为真命题，求实数
的取值范围。

【答案】

【解析】

试题分析：1.判断含有逻辑联结词的命题的真假，关键是对逻辑联结词“且”“或”“非”含义的理解．2．解决该类问题的基本步骤：(1)弄清构成复合命题中简单命题p和q的真假；(2)明确其构成形式；(3)根据复合命题的真假规律判断构成新命题的真假．3．对于已知命题的真假求字母范围的问题，需将条件转化为相关的不等式(组)来求解．

试题解析：若p为真，则
，解得

若q为真，则
，解得

由题意可知，p，q一真一假。

当p真q假时
，则
；当q真p假时
，则
，

综上所述，k的取值范围是

考点：含有逻辑联结词的命题的真假问题

19. 已知定义域为的函数
是奇函数．

（1）求
的值；

（2）用定义法证明函数
在上是减函数；

（3）若对任意的
，不等式
恒成立，求
的取值范围．

【解析】试题分析：（1）利用f（0）=0即可解出；（2）利用减函数的定义即可证明；（3）利用函数的奇偶性、单调性即可解出．

试题解析：（1）由
可得

（2）由（1）可得：
．
，则
，

∴
，

∴