2014年秋期期终质量评估高二数学试卷（理科）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1.不等式
的解集为

A.
B.
C.
D.

在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为
若
,则△ABC的形状为

A.直角三角形 B.钝角三角形

C.等边三角形 D.等腰直角三角形

3.已知圆C1：
，圆C2：
,若动圆C与圆C1相外切且与圆C2相内切，则圆心C的轨迹是

A．椭圆 B．椭圆在y轴上及其右侧部分

C．双曲线 D．双曲线右支

4.如图所示,为测一建筑物的高度,在地面上选取A,B两点,从A,B两点分别测得建筑物顶端的仰角为30°,45°,且A,B两点间的距离为60m,则该建筑物的高度为A.(30+30
)m B.(30+15错误！未找到引用源。)m

C.(15+30错误！未找到引用源。)m D.(15+15错误！未找到引用源。)m

已知等比数列{an}的公比为q,前n项和为
,且
成等差数列,则
等于

A.-1或错误！未找到引用源。 B.1或-错误！未找到引用源。 C.1 D.-错误！未找到引用源。

6.已知a＝(2，－1,2)，b＝(2,2,1)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积是

A.
B.
C. 4 D. 8

7.双曲线C与椭圆
有相同的焦距，一条渐近线方程为x-2y=0,则双曲线C的标准方程为

A．
B．

C．
D．

8.下面命题中，正确命题的个数为

①命题：“若
,则
”的逆否命题为:“若
,则
”;

②命题：
的否定是
;

③“点M在曲线
上”是“点M的坐标满足方程
”的必要不充分条件;

④设
是等比数列，则“
”是“数列
是递增数列”的充要条件;

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

9.若
满足条件
,当且仅当
时,
取最小值,则实数的取值范围是

A．
B．
C．
D．

10.已知直二面角
,
，
.若

，则D到平面ABC的距离等于

A.
B.
C.
D.1

11.若数列{an}满足
,则称数列{an}为“调和数列”.已知正项数列错误！未找到引用源。为“调和数列”,且b1+b2+…+b9=90,则b4·b6的最大值是

A.10 B.100 C. 200 D.400

12.已知椭圆
的左焦点为
与过原点的直线相交于
两点，连接
若
则
的离心率为

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）

13.已知数列
满足
，
，那么
的值是___________ ．

14.已知为双曲线
的左焦点，
为上的点，若
的长等于虚轴长的2倍，点
在线段
上，则
的周长为 .

15.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M，N分别是C1D1，CC1的中点，则直线B1N与平面BDM所成角的正弦值为_______．

16.已知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A,B,则|AB|等于_______．

三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. (本题满分10分)

已知命题p:“1≤x≤5是x2-(a+1)x+a≤0的充分不必要条件”，命题q:“满足AC=6，BC=a,∠CAB=30°的(ABC有两个”.若“(p且q”是真命题，求实数a的取值范围.

18(本题满分12分)

已知△ABC的角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且
.

(1)求角A的大小.

(2)若a=1,
,求b+c的值.

19. (本题满分12分)

如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是菱形且∠ADC=60°，M为PB的中点.

(1)求PA与底面ABCD所成角的大小.

(2)求证：PA⊥平面CDM.

(3)求二面角D-MC-B的余弦值.

(本题满分12分)

如图,已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F的直线
与抛物线C交于A(x1,y1)(y1>0),B(x2,y2)两点,T为抛物线的准线与x轴的交点.

(1)若
,求直线
的斜率.

(2)求∠ATF的最大值.

(本题满分12分)

已知等比数列{an}的首项为1,公比q≠1,Sn为其前n项和,a1,a2,a3分别为某等差数列的第一、第二、第四项.

(1)求an和Sn.

(2)设
,数列
的前n项和为Tn,求证:

22.(本题满分12分)

已知椭圆
的中心在原点
，焦点在轴上，离心率为
，右焦点到右顶点的距离为．

（1）求椭圆
的方程；

（2）如图，动直线
与椭圆
有且仅有一个公共点，点
是直线
上的两点，
是椭圆的左右焦点，且
，求四边形
面积
的最大值。

2014年秋期期终质量评估高二理科数学参考答案

一．选择题 DCDAD ABDCC BB

二．填空题 13. 90 14. 错误！未找到引用源。 15.
16.

三．解答题

17.解：命题p:
. ……………3分

命题q:

……………6分

因为(p∧q是真命题，所以p假，q真. ……………8分

所以实数a的取值范围是
.……10分

解：(1)由题意得

可得错误！未找到引用源。sinBsinA=cosAsinB,所以tanA=错误！未找到引用源。,即A=错误！未找到引用源。. ……………6分

(2)由
,得cbcos错误！未找到引用源。=3, 即cb=
①

又a=1,从而1=b2+c2-2bccos错误！未找到引用源。,②

由①②可得(b+c)2=错误！未找到引用源。,所以b+c=
. ……………12分

19.解：(1)取DC的中点O，由△PDC是正三角形，有PO⊥DC.

又∵平面PDC⊥底面ABCD，∴PO⊥平面ABCD于O.

连接OA,则OA是PA在底面上的射影,

∴∠PAO就是PA与底面ABCD所成的角.

∵∠ADC=60°,由已知△PCD和△ACD是全等的正三角形，从而求得OA=OP=
.

∴∠PAO=45°,∴PA与底面ABCD所成角的大小为45°. ……………4分

(2)由底面ABCD为菱形且∠ADC=60°,DC=2,DO=1,得OA⊥DC.

建立空间直角坐标系如图，

则A(
,0,0),P(0,0,
),D(0,-1,0), B(
,2,0),C(0,1,0).

由M为PB中点,∴M(
,1,
),

∴
=(
,2,
)，
=(
，0，-
),
=(0,2,0),

∴

∴PA⊥DM,PA⊥DC.又DM∩DC=D,∴PA⊥平面CDM. ……………8分

(3)
=(
,0,
)，
=(
，1，0).

设平面BMC的法向量n=(x,y,z),

则n·
=0，从而x+z=0;①

n·
=0,从而
x+y=0,②

由①②，取x=-1，则y=
,z=1.∴可取n=(-1,
,1).

由(2)知平面CDM的法向量可取
=(
,0,-
),

∴

∴所求二面角的余弦值为
. ……………12分

20.解：(1)因为抛物线y2=4x焦点为F(1,0),T(-1,0).

当
轴时,A(1,2),B(1,-2),此时
错误！未找到引用源。,与错误！未找到引用源。矛盾…2分

所以设直线
的方程为y=k(x-1),

代入y2=4x,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,

则
,①

所以
,所以y1y2=-4,　②

因为错误！未找到引用源。,所以(x1+1)(x2+1)+y1y2=1,

将①②代入并整理得,k2=4,所以k=±2.……………6分

(2)因为y1>0,

所以,

当且仅当
,即y1=2时,取等号,

所以∠ATF≤错误！未找到引用源。,所以∠ATF的最大值为错误！未找到引用源。.……………12分

21.解：(1)因为a1,a2,a3为某等差数列的第一、第二、第四项,

所以a3-a2=2(a2-a1),

所以a1q2-a1q=2(a1q-a1),

因为a1=1,所以q2-3q+2=0,

因为q≠1,所以q=2,

所以an=a1qn-1=2n-1,

……………6分

(2)由(1)知an+1=2n,

所以bn=log2an+1=log22n=n.

所以
.

。……………12分

22.解：（1）设椭圆
的方程为

，半焦距为.

依题意
，由右焦点到右顶点的距离为，得
．

解得
，
．

所以
．

所以椭圆
的标准方程是
． ……………4分

（Ⅱ）将直线
的方程
代入椭圆
的方程
中，

得
．

由直线
与椭圆
仅有一个公共点知
，

化简得：
．

设
，
，

∵
，

．

．………8分

四边形
的面积

，

．

当且仅当
时，
，故
．

所以四边形
的面积
的最大值为
．……………12分