云南省玉溪一中2014-2015学年高二上学期期末考试数学（文）试题

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

考试时间：120分钟 满分：150分

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1、已知集合A={y|y=
(x≠0)}，B={x| x2－x－2≤0}，则（ ）

A．AB B．BA C．A=B D． A∩B=

2、已知：命题P：
，总有|x|≥0；命题q:x=1是方程x2+x+1=0的根，则下列命题为真命题的是（ ）

A．p∧q B． p∧q C． p∧q D．p∧q

3、函数f(x)=ex+x－2的零点所在的一个区间是（ ）

A．(－2, －1) B．(－1, 0) C．(0, 1) D．(1, 2)

4、若直线ax+2y+6=0与直线x+a(a+1)y+a2－1=0垂直，则实数a的值为（ ）

A．－
B．0 C．1 D．0或－

5、曲线f(x)=x3－2x+1在点(1, 0)处的切线方程为（ ）

A．y=－x+1 B．y=x－1 C．y=2x－2 D．y=－2x+2

6、从正方形的四个顶点及中心这5个点中，任取2个点，则这两个点的距离不小于该正方形边长的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

7、执行如下图所示的程序框图，如果输入t [－2, 2]，则输出的s属于（ ）

A．[－6, －2] B．[－5, －1] C．[－4, 5] D．[－3, 6]

8、一块橡胶泥表示的几何体的三视图如图所示，将该橡胶泥揉成一个底面边长为8的正三角形的三棱锥，则这个三棱锥的高为（ ）

A．3
B．6

C．9
D．18

9、已知A(－3, 0)，B(0, 4)，M是圆C : x2+y2－4x=0上一个动点，则△MAB的面积的最小值为（ ）

A．4 B．5

C．10 D．15

10、若正数a, b满足3a+4b=ab，则a+b的最小值为（ ）

A．6+2
B．7+2
C．7+4
D．7－4

11、在矩形ABCD中，若AB=3，AD=4，E是CD的中点，F在BC上，若
=10，则
等于（ ）

A．－5 B．－6 C．－7 D．

12、若f(x)=

，x1＜x2＜x3，且f (x1)=f (x2)=f (x3)，则x1+x2+x3的值的范围是（ ）

A．[1, 2) B．(1, 2] C．(0, 1] D．[2, 3)

第Ⅱ卷（选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.

13、设数列{an}满足a1=7，an+an+1=20，则{an}的前50项和为 .

14、若变量x, y满足约束条件：
，则z=2x+y的最大值为 .

15、在三角形ABC中，若A=60°，AB=4，AC=1，D是BC的中点，则AD的长为 .

16、设直线x－3y+m=0（m≠0）与双曲线
=1(a＞0, b＞0)的两条渐近线分别交于A、B两点，若P(m, 0)满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率为 .

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）

17、（本小题满分10分）已知直线的参数方程为
(t为参数)，曲线C的极坐标方程为
=1.

（1）求曲线C的直角坐标方程；

（2）直线l被曲线C截得的弦长.

18、（本小题满分12分）20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图.

（1）求频率分布直方图中的a的值；

（2）分别求出成绩落在[50, 60)与[60, 70)中的学生人数.

（3）从成绩在[50, 70)的学生中任选2人，求这两人的成绩都在[60, 70)中的概率.

19、（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，E、F分别为A1C1和BC的中点.

（1）求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；

（2）求证：C1F//平面ABE.

20、（本小题满分12分）在三角形ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若
=(b,
cosB)，
=(sinA, －a)，且
⊥
.

（1）求角B的大小；

（2）若b=3，sinC=2sinA，求△ABC的面积.

21、（本小题满分12分）若数列{an}满足a1=2，an+1=
.

（1）设bn=
，问：{bn}是否为等差数列？若是，请说明理由并求出通项bn；

（2）设cn=an an+1，求{cn}的前n项和.

22、（本小题满分12分）设椭圆
=1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1、F2，点D在椭圆上，DF1⊥F1F2，
=2
，△DF1F2的面积为
.

（1）求该椭圆的标准方程；

（2）若圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线互相垂直并分别过不同的焦点，求出这个圆的方程.

玉溪一中2014－2015学年上学期期末考试

高二数学答案（文科）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

A

A

C

D

B

C

D

D

B

C

B

A



二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13、500 14、7 15、
16、
.

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）

17、解：（1）由
=1得

=1

(
)2－(
)2=1

∵
=x，
=y

∴x2－y2=1

（2）直线l的方程为y=
(x－2)

将y=
(x－2)代入x2－y2=1得

2x2－12x+13=0

解得x1=
，x2=

∴弦长为
=
=2
。

18、解：（ 1）70a+60a+30a+20a+20a=1

200a=1

∴ a=0. 005

（2）成绩落在[50, 60)的人数为2×0.005×10×20=2(人)

成绩落在[60, 70)的人数为3×0.005×10×20=3(人)

（3）将成绩落在[50, 60)的两人记为A、B，

成绩落在[60, 70)的三人记为C、D、E，

从这5人中任取2人有如下结果：

AB AC AD AE

BC BD BE

CD CE

DE

两人的成绩都在[60, 70)的概率为p=
.

19、证明：（1）∵BB1⊥平面ABC

AB平面ABC

∴AB⊥BB1

又AB⊥BC，BB1∩BC=B

∴AB⊥平面B1BCC1

而AB平面ABE

∴平面ABE⊥平面B1BCC1

（2）取AC的中点G，连结C1G、FG

∵F为BC的中点

∴FG//AB

又E为A1C1的中点

∴C1E//AG，且C1E=AG

∴四边形AEC1G为平行四边形

∴AE//C1G

∴平面C1GF//平面EAB

而C1F平面C1GF

∴C1F//平面EAB.

20、解：（1）
=(b,
cosB)

=(sinA, －a)

⊥

∴b sinA－
a cosB=0

sinB·sinA－
sinA cosB=0

而sinA≠0

∴sinB－
cosB=0

tanB=
又0°＜B＜180°

∴B=60°

（2）b2=a2+c2－2ac cosB，b=3

∴a2+c2－ac=9 ……………………①

又∵sinC=2sinA

∴c=2a ……………………②

由①②得a=
，c=2

∴S△ABC=
·
·2
·sin60°=

.

21、解：（1）∵bn+1－bn=
－
=
－
=3

∴{bn}是公差为3的等差数列

又b1=
=

∴bn=3n－

（2）∵bn=

∴an=

由an+1=
得：3an+1 an+an+1=an

an an+1=
(an－an+1)

∴Cn=
(an－an+1)

∴{Cn}的前n项和为

Sn=
[(a1－a2)+(a2－a3)+…+(an－an+1)

=
(a1－an+1)

=
(2－
)

=

22、解：（1）设F1(－c, 0)，F2(c, 0)

|DF1|=

又
=2

∴

∴a=
，b=1

∴椭圆方形为
.

（2）设圆心在y轴上的圆与椭圆交于A(x0, y0)，B(－x0, y0)

F1A，F2B是圆C的两条切线

F1(－1, 0)，F2(1, 0)

=(x0+1, y0)，
=(－x0－1, y0)

⊥

∴－(x0+1)2+y02=0 ………………①

即y02=(x0+1)2

而
+y02=1 ………………②

由①②得：

∴x0=－
，y0=

∴A(－
,
)，B(
,
)

设圆心为C(0, m)

则
=(
, m－
)

=(－
,
)

⊥
，－
+
m－
=0

m=

∴圆心C(0,
)，半径r =

∴圆方程为x2+(y－
)2=
.