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数学

一．选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．设
是两条直线，
是两个平面，下列能推出
的是( )

A．
　　B．

C．
　 D．

2．如图1，△ ABC为三角形，
//
?//
?,
?⊥平面ABC?且3
=

=
=AB,则多面体△ABC -
的正视图（也称主视图）是（ ）

3．一个正方体的展开图如图所示，A、B、C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中（ ）

A.
B.

C. AB与CD所成的角为
D. AB与CD相交sj.fjjy.org

4．平面
外有两条直线
和
，如果
和
在平面
内的射影分别是
和
，给出下列四个命题：①
②
③
与
相交

与
相交或重合 ④
与
平行

与
平行或重合，其中不正确的命题的个数是（ ）

A、4个 B、3个 C、2个 D、 1个 sj.fjjy.org

7．某几何体的三视图如图所示，它的体积为

A.
B.

C.
D.

8．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱（底面为正方形的直四棱柱）高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ）

A．
B．
C．
D．

9．已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是 （　　）

A．84cm3 B． 92cm3

C．100 cm3 D．108cm3

10．一个正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面上的射影为底面的中心）的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在过该球球心的一个截面上，则该正三棱锥的体积是（ ）

A、
B、
C、
D、

二、填空题(本大题满分20分，每小题5分，各题只要求直接写出结果.)

11．如图
是边长为
的
为正方形的对角线，将
绕直线
旋转一周后形成的几何体的体积等于 。

12．已知正四棱柱的体对角线的长为
，且体对角线与底面所成角的余弦值为
，则该正四棱柱的体积等于 ．

13．下列各图是正方体或三棱锥，
分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图象共有 （填写序号）

① ② ③ ④

14．在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2.”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的面面积与底面面积间的关系。可以得出的正确结论是：“设三棱锥A—BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则 ”．

三、解答题：（本大题满分80分）

15．（本小题12分）已知函数
,
.

(Ⅰ) 求
的值; (Ⅱ) 若
,
,求
.



汕头金山中学高二学期月考试题答案卷2013年10

20．（本小题14分）已知
且
，数列
满足
，
，
（
），令
。

⑴求证：
是等比数列；

⑵求数列
的通项公式；

⑶若
，求
的前
项和
．



16．解：（Ⅰ）设BC1交B1C于点E，连结DE，

则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线，

所以平面
平面A1BC1 . …………………12分

17．解

⑴∵EA⊥面ABC,BM
面ABC,∴EA⊥MB

∴MB⊥AC,AC∩EA=A,∴MB⊥面ACEF

∵EM
面ACEF,∴EM⊥MB

在直角梯形ACEF中,EA=3,FC=1,AC=4

∴EF=

在Rt△ABC中, ∵∠BAC＝30°,BM⊥AC

∴AM=3,CM=1

∴EM=
,MF=

∵EF2=EM2+MF2

∴EM⊥MF, 又MB∩MF=M

∴EM⊥面MBF, ∵BF
面MBF

∴EM⊥BF…………………8分

⑵(文科) 由(1)知,　MB⊥面ACFE ∴

在直角梯形ACEF中，
，

∴
…………………14分

(理科)延长ＥＦ交ＡＣ于Ｈ，连结ＢＨ

过Ｃ做ＣＧ⊥ＢＨ，垂足Ｇ

ＦＣ∥ＥＡ，EA⊥面ABC

∴ＦＣ⊥面ABC，

∵ＢＨ
面AＢC

∴ＢＨ⊥ＦＣ，∵ＦＣ∩ＣＧ＝Ｃ

∴ＢＨ⊥面ＦCＧ，∵ＦＧ
面ＦCＧ

∴ＢＨ⊥ＦＧ

∴∠ＣＧＦ为平面BEF与平面ABC所成的二面角的平面角

在直角梯形ACEF中，ＣＨ＝２sj.fjjy.org

在△ＢＣＨ中，ＣＨ＝２，ＢＣ＝２，∠ＢＣＨ＝

∴CG=1,

在Rt△CGF中,FC=1

∴∠ＣＧＦ=

平面BEF与平面ABC所成的锐二面角正切值为1…………………14分

18．解 （1） PA⊥平面ABCD，CD⊥AD，∴PD⊥CD。

故∠PDA是平面PCD与平面ABCD所成二面角的平面角。

在Rt△PAD中，PA⊥AD，PA=AD，∴∠PDA=45°…………………3分

（2）如图，取PD中点E，连结AE，EN，又M，N分别是AB，PC的中点，

∴EN∥
CD∥
AB ∴AMNE是平行四边形sj.fjjy.org

∴MN∥AE。

在等腰Rt△PAD中，AE是斜边的中线。

∴AE⊥PD。

又CD⊥AD，CD⊥PD ∴CD⊥平面PAD，

∴CD⊥AE，

又PD∩CD=D，∴AE⊥平面PCD。

∴MN⊥平面PCD。…………………8分

19． 解：(1)根据题意，得：

∈[0，5]，
．…… 4分

(2)令
，则
且

…………8分

当
时，即
，当
时，
，此时

当
时，即
，当
时，
，此时
12分

答：当
时，甲项目投资
亿元，乙项目投资
亿元，总利润的最大值是
亿元；当
时，甲项目投资
亿元，乙项目投资不投资，总利润的最大值是
亿元 ……………14分

两式联立解得：
…………………………………………6分

②当
时，由①可知

，
，

即
，等式两边同时除以
，得
，即

数列
是以1为公差的等差数列，
,

sj.fjjy.org

综上所述，
…………………………………………………10分

（3）因为
，由⑵可得

…………………………………………………………………14分