第六节 互斥事件有一个发生的概率

数学世家伯努利家族

　　伯努利家族，又译贝努利家族．17－18世纪瑞士巴塞尔的数学和自然科学家的大家族，祖孙三代，出过十多位数学家原籍比利时安特卫普，1583年遭受天主教迫害，迁往德国法兰克福，最后定居巴塞尔，主要成员的世系如下。

　　最重要的是雅各布第一·伯努利、约翰第一·伯努利和丹尼尔第一·伯努利。

　　雅各布第一·伯努利1654年12月27日生于瑞士巴塞尔，1705年8月16日卒于同地．最初遵从父亲的意见学神学，当他读了R．笛卡尔、J．沃利斯的书后，颇受启发，兴趣转向数学。1676年到荷兰、英国等处，结识当地学者、从1687年起直到去世，任巴塞尔大学教授。他和弟弟约翰第一·伯努利是G．W．莱布尼茨的朋友，他们迅速掌握了莱布尼茨的微积分并加以发扬光大．雅各布在《学艺》上发表一系列的论文，1694年他首次给出直角坐标和极坐标下的曲率半径公式，这也是系统地使用极坐标的开始1690年他提出悬链线问题，后来又改变条件，解决了更复杂的悬链问题。1694年的论文讨论了双纽线的性质，伯努利双纽线因此得名。1695年他提出著名的伯努利方程。

　　雅各布对对数螺线深有研究，他发现对数螺线经过各种变换后，结果还是对数螺线。在惊叹这曲线的奇妙之余，遗言要将这曲线刻在墓碑上，并附以颂词：“纵使变化，依然故我”。雅各布的巨著《猜度术》（1713）的出版，是组合数学及概率论史的一件大事，书中给出的伯努利数有很多应用。还有伯努利定理，这是大数定理的最早形式。

　　约翰第一·伯努利1667年8月6日生于巴塞尔，1748年1月1日卒于同地．最初学医，同时研习数学。1691年到巴黎，曾为洛必达的私人教师。现今求不定式极限的洛必达法则，实出自约翰。1705年接替其巴雅各布任巴塞尔大学教授．1691年解出悬链线问题1696年，他向全欧洲数学家挑战，提出最速降曲线问题：“一质点受地心引力的作用，自较高点下滑至较低点，不计磨擦，问沿着什么曲线，时间最短？”问题的难度处于和普通的极大极小值求法不同，它是要求出一个未知函数（曲线）来满足所给条件．洛必达、莱布尼茨、I．牛顿、雅各布第一·伯努利都给出这个问题的解答，后来引起变分法的产生。

　　尼古拉第二·伯努利，约翰第一·伯努利的儿子，13岁入巴塞尔大学，1715年取得法学硕士学位。1725年同其弟弟丹尼尔第一·伯努利一起应邀到彼得堡去．他到彼得堡后。曾提出一个概率论问题，后来以彼得堡问题著称，可惜次年就死在那里．

　　丹尼尔第一·伯努利，1700年2月8日生于荷兰格罗宁根，1782年3月17日卒于巴塞尔丹。尼尔25岁就成为彼得堡科学院数学教授，他最早的论著是解决黎卡提方程（1724）。他在概率论、偏微分方程、物理等方面均有贡献。曾获法国科学院奖金10次之多．他的《流体动力学》1738年出版，这是作为流体动力学基础的“伯努利定理”的出处。1733年他回到巴塞尔，教授解剖学、植物学和自然哲学．

独立试行定理

　　有一个使现在的计算进一步加深的“独立试行定理”．例如，如果被一所大学录取的概率是2／3，不录取的概率就是1／3．这里参加了A、B、C、D、E五所大学的考试，求其中有两所录取，3所大学不录取的概率是多少．

　　首先，假定A、B两所大学中录取，求剩下大学中不录取的概率．因为被A、B录取的概率分别为2／3，所以双方合格的概率就是 ．另一方面，剩下的3所不录取的概率相同，即 ．

　　结果，在A、B中录取，剩下不录取的概率就是 ．

　　在本问题中，因为在哪两所大学中录取都可以，所以这两所大学无论是B、C还是C、D都可以．

　　这样一来，从5所大学中只选择2个，该选择范围由 决定．

　　于是2所录取，3所不录取的概率就是： ．

瞎猫也能碰上死老鼠

　　在升学考试的时候，有时尽管自己觉得没把握，但被录取率却往往很高。这就是所谓的预先“防止落空”的一般对策。

　　但是也有采取以下战术的，就是考虑“被录取的可能性是50％，该从何处入手呢？

　　  自古以来有这样的说法：“瞎猫也能碰上死老鼠”。这一格言听起来似乎是不负责任。当然这个格言就是他的战术基础。而且，这种格言符合一定的真理性。根据概率的计算可以明确地表示出来。

　　那么，请看一个具体的例子（漫画中聪明鼠的做法就与上面的格言吻合）吧。

　　考虑一下这样一个问题，即“有4所大学，各大学的录取概率为1／2时，全部的被录取概率是多少？”

　　这个问题的答案是，因为各大学的不录取概率是1／2（即1－1／2），所以这四所大学全部不录取概率为：（1／2）＝1／16

　　为了能被任一所大学录取，那么就应该去除在全部大学中不录取的概率，剩下的就是被录取的概率。即：

1－1／16＝15／16＝0．94

　　尚且，在这个计算中使用了“某件事不发生的概率就是用1减去某事件发生的概率”，把这样的事件看作是“余事件”。这在前面已经说明了。

　　由以上入学考试合格率的计算方法来看，可以说：概率几乎接近100％。为此必须高度重视。

　　虽说“瞎猫被录取也能碰上死老鼠”，但是如果情况非常糟，是完全碰不上的。就像猫咪那样，如果概率是零，无论进行多少次重复考试都不会成功。

　　不过概率为零的情况几乎没有，“即使有很小一点可能性，也一定要努力到最后”。可以说“不去参与就没有成功”。

　　当必须向某公司的某科室挂电话时，一般来说，向电话机多的科（相应的员工也多）挂电话接通的概率高。

　　例如，两个人使用一台电话机的A科，与20个人使用5台电话机的B科进行比较。

　　假定电话机平均使用。如果一个人的通话时间占上班时间的1／6，A科电话机占线的时间概率就是1／6＋1／6＝1／3。而在B科因人机比例是A科的2倍，即每一部电话的使用量是A科的2倍，也就是上班时间的2／3都在使用着。于是全部占线的概率为 ……即降到了A科的一半以下。

　　这种计算方法在很多情况下都很适用。