第五节 随机事件的概率

“运气”中的数学

　　不少车站码头旅游点，常有这样的游戏，规则如下：有一端涂黑、红各10支的筷子，涂色的一端朝下放在不透明的盒子里，在一边的桌子上摆着一排扑克牌，依次为：黑十、黑九红一、黑八红二、黑七红三、黑大红四、黑五红五、黑四红六、黑三红七、黑二红八、黑一红九、红十．对应每组牌都有一个礼物，礼物的价值从两端依次降低，对应“黑五红五”的礼物是一个小佛像，摆局的人说：从盒子里任意抽出10支筷子，对应颜色的一组牌所对应的礼物就属于你：当你的礼物是小佛像时，请付五元钱把好运气买走；若是其余的礼物，一律不付钱就可把礼物拿走．不少行人或旅客见到两端的礼物很是喜爱，说反正不花钱就玩玩，就随意从盒子里抽出10支筷子，不曾想上来就抽出了正红五黑10支筷子，自然付五元买个“好运气”，接着再从中抽10支筷子，不料又“运气”临门，玩了几十元钱后发现自己得到了几个不值钱的小礼物，就再也不想好运气了．

　　为何摆局人敢于不要钱让人玩呢？为何“好运气”这么多次光临游客呢？这其中的奥秘摆局人最清楚，他知道抽到“黑三红五”10支筷子的概率为 ；而抽到两端礼物的概率为 ；抽到“黑九红一”“黑一红九”的概率为 ；抽到“黑八红二”“黑二红八”的概率为 ；抽到“黑七红三”“黑三红七”的概率为 ；抽到“黑六红四”“黑四红六”的概率为 。

　　从以上对抽到各组牌的概率可以知道，最常抽到的是正中间的那组，也就是让人买“好运气”的“黑五红五”，其次是其左右的“黑六红四”“黑四红六”，再其次是“黑七红三”“黑三红七”．而摆局人让它们对应的礼物是很有讲究的．若想得到两端的大礼，实在不容易．

从随机现象说起

　　在自然界和现实生活中，一些事物都是相互联系和不断发展的。在它们彼此间的联系和发展中，根据它们是否有必然的因果联系，可以分成截然不同的两大类：一类是确定性的现象。这类现象是在一定条件下，必定会导致某种确定的结果。举例来说，在标准大气压下，水加热到100摄氏度，就必然会沸腾。事物间的这种联系是属于必然性的。通常的自然科学各学科就是专门研究和认识这种必然性的，寻求这类必然现象的因果关系，把握它们之间的数量规律。

　　另一类是不确定性的现象。这类现象是在一定条件下，它的结果是不确定的。举例来说，同一个工人在同一台机床上加工同一种零件若干个，它们的尺寸总会有一点差异。又如，在同样条件下，进行小麦品种的人工催芽试验，各棵种子的发芽情况也不尽相同，有强弱和早晚的分别等等。为什么在相同的情况下，会出现这种不确定的结果呢？这是因为，我们说的“相同条件”是指一些主要条件来说的，除了这些主要条件外，还会有许多次要条件和偶然因素又是人们无法事先一一能够掌握的。正因为这样，我们在这一类现象中，就无法用必然性的因果关系，对个别现象的结果事先做出确定的答案。事物间的这种关系是属于偶然性的，这种现象叫做偶然现象，或者叫做随机现象。

　　在自然界，在生产、生活中，随机现象十分普遍，也就是说随机现象是大量存在的。比如：每期体育彩票的中奖号码、同一条生产线上生产的灯泡的寿命等，都是随机现象。因此，我们说：随机现象就是：在同样条件下，多次进行同一试验或调查同一现象，所的结果不完全一样，而且无法准确地预测下一次所得结果的现象。随机现象这种结果的不确定性，是由于一些次要的、偶然的因素影响所造成的。

　　随机现象从表面上看，似乎是杂乱无章的、没有什么规律的现象。但实践证明，如果同类的随机现象大量重复出现，它的总体就呈现出一定的规律性。大量同类随机现象所呈现的这种规律性，随着我们观察的次数的增多而愈加明显。比如掷硬币，每一次投掷很难判断是那一面朝上，但是如果多次重复的掷这枚硬币，就会越来越清楚的发现它们朝上的次数大体相同。

　　我们把这种由大量同类随机现象所呈现出来的集体规律性，叫做统计规律性。概率论和数理统计就是研究大量同类随机现象的统计规律性的数学学科。

概率论的产生和发展

　　概率论产生于十七世纪，本来是又保险事业的发展而产生的，但是来自于赌博者的请求，却是数学家们思考概率论中问题的源泉。

　　早在1654年，有一个赌徒梅累向当时的数学家帕斯卡提出一个使他苦恼了很久的问题：“两个赌徒相约赌若干局，谁先赢 m局就算赢，全部赌本就归谁。但是当其中一个人赢了 a (a<m)局，另一个人赢了 b(b<m)局的时候，赌博中止。问：赌本应该如何分法才合理？”后者曾在1642年发明了世界上第一台机械加法计算机。

　　三年后，也就是1657年，荷兰著名的天文、物理兼数学家惠更斯企图自己解决这一问题，结果写成了《论机会游戏的计算》一书，这就是最早的概率论著作。

　　近几十年来，随着科技的蓬勃发展，概率论大量应用到国民经济、工农业生产及各学科领域。许多兴起的应用数学，如信息论、对策论、排队论、控制论等，都是以概率论作为基础的。

　　概率论和数理统计是一门随机数学分支，它们是密切联系的同类学科。但是应该指出，概率论、数理统计、统计方法又都各有它们自己所包含的不同内容。

　　概率论——是根据大量同类随机现象的统计规律，对随机现象出现某一结果的可能性作出一种客观的科学判断，对这种出现的可能性大小做出数量上的描述；比较这些可能性的大小、研究它们之间的联系，从而形成一整套数学理论和方法。

　　数理统计——是应用概率的理论来研究大量随机现象的规律性；对通过科学安排的一定数量的实验所得到的统计方法给出严格的理论证明；并判定各种方法应用的条件以及方法、公式、结论的可靠程度和局限性。使我们能从一组样本来判定是否能以相当大的概率来保证某一判断是正确的，并可以控制发生错误的概率。

　　统计方法——是一上提供的方法在各种具体问题中的应用，它不去注意这些方法的的理论根据、数学论证。

　　应该指出，概率统计在研究方法上有它的特殊性，和其它数学学科的主要不同点有：

　　第一，由于随机现象的统计规律是一种集体规律，必须在大量同类随机现象中才能呈现出来，所以，观察、试验、调查就是概率统计这门学科研究方法的基石。但是，作为数学学科的一个分支，它依然具有本学科的定义、公理、定理的，这些定义、公理、定理是来源于自然界的随机规律，但这些定义、公理、定理是确定的，不存在任何随机性。

　　第二，在研究概率统计中，使用的是“由部分推断全体”的统计推断方法。这是因为它研究的对象——随机现象的范围是很大的，在进行试验、观测的时候，不可能也不必要全部进行。但是由这一部分资料所得出的一些结论，要全体范围内推断这些结论的可靠性。

　　第三，随机现象的随机性，是指试验、调查之前来说的。而真正得出结果后，对于每一次试验，它只可能得到这些不确定结果中的某一种确定结果。我们在研究这一现象时，应当注意在试验前能不能对这一现象找出它本身的内在规律。

概率论的内容

　　概率论作为一门数学分支，它所研究的内容一般包括随机事件的概率、统计独立性和更深层次上的规律性。

　　概率是随机事件发生的可能性的数量指标。在独立随机事件中，如果某一事件在全部事件中出现的频率，在更大的范围内比较明显的稳定在某一固定常数附近。就可以认为这个事件发生的概率为这个常数。对于任何事件的概率值一定介于 0和 1之间。

　　有一类随机事件，它具有两个特点：第一，只有有限个可能的结果；第二，各个结果发生的可能性相同。具有这两个特点的随机现象叫做“古典概型”。

　　在客观世界中，存在大量的随机现象，随机现象产生的结果构成了随机事件。如果用变量来描述随机现象的各个结果，就叫做随机变量。

　　随机变量有有限和无限的区分，一般又根据变量的取值情况分成离散型随机变量和非离散型随机变量。一切可能的取值能够按一定次序一一列举，这样的随机变量叫做离散型随机变量；如果可能的取值充满了一个区间，无法按次序一一列举，这种随机变量就叫做非离散型随机变量。

　　在离散型随机变量的概率分布中，比较简单而应用广泛的是二项式分布。如果随机变量是连续的，都有一个分布曲线，实践和理论都证明：有一种特殊而常用的分布，它的分布曲线是有规律的，这就是正态分布。正态分布曲线取决于这个随机变量的一些表征数，其中最重要的是平均值和差异度。平均值也叫数学期望，差异度也就是标准方差。

约定

　　下面是17世纪中期的事．喜欢赌博的贵族梅莱一次又一次不厌其烦地将骰子弄转，他一边考查结果，一边记在本子上，最后他得出了这样一种考虑，如果将一个骰子投四次当中至少有一次（即一次以上）出现6点时，赌6点出现1次以上是有利的．

　　按照他的考虑“投6次骰子中有一次是6点，所以投1次骰子出现6点的希望概率应该是1／6”．以上梅莱的考虑是正确的．“于是，投四次骰子概率是四倍，就是4／6或2／3，所以自己不应该输”，的确与很多人这样进行赌博他总是胜者．梅莱更加相信自己的考虑是正确的．但他的考虑实际上是错误的，幸好没因为这种赌博使梅莱破产，正确的概率是0.5177．

　　不幸的是梅莱没有察觉自己的错误又开始了新的赌博．改换用两个骰子投24次，其中至少投出一次12点的赌博．按照他的考虑“投两个骰子出12点，是两个骰子的点数相乘，有6×6＝36种可能，其中两个骰子都出6的期望概率应该是1／36”此时梅莱的考虑是正确的．梅莱又一考虑“按照以上的计算若投24次期望概率是24倍，和前面同样的道理应该是24／36＝2／3”．梅莱这样的考虑就错了，这是因为前面的成功对自己的考虑过于自信，即使是一直在输也坚持认为“应该总有赢的时候”．由于他一直继续赌博，终于输得连一分钱都没有了．因为现在的正确概率是0.4914…，可见梅莱的破产是不得已的事．

　　后来梅莱向友人数学家帕斯卡（1623～1662，法国数学家、物理学家、哲学家）写信提了好多问题．事实上概率论正是从梅莱的这封信开始的．帕斯卡收到信以后和费马交换了意见，发展成了概率论．

　　下面叙述一下帕斯卡和费马的分析．

　　从最初的“投四次骰子最少有一次出现6点的概率”求解，按照梅莱的考虑，投一次骰子出现6点的概率是1／6，所以投一次骰子6点不出现的概率是5／6投四次骰子，因为四次共不出现6点的概率是 ，所以至少有一次6点出现的概率为

…

　　下面求一下“将两个骰子投24次，至少有一次出现12点的概率”．因为一次投两个骰子出现12点的概率是1／36，所以一次投两个骰子12不出现的概率是35／36．将两个骰子投24次，因为24次都不出现12的概率是 ，所以至少出现1次12的概率是

…

　　 这样，虽然是17世纪中期才开始研究概率，但到18世纪概率就有了很大的发展．将概率作为一个很大的体系进行整理是19世纪初拉普拉斯（1749～1827，法国天文学家、数学家）完成的．根据拉普拉斯的理论。概率的定义如下：

　　“全体共有N个事件，假定它们都是以相同程度确定的，发生E情形的需有r个事件，那么E情形发生的概率是r／N．”

　　在帕斯卡和费马看来，对于投骰子出现1点的概率是1／6，这是必然的问题，拉普拉斯意识到“确定相同程度”这一点，的确是一个很大的进步．

　　根据拉普拉斯概率定义，N不仅适用于有限个场合，而且可以推广到无限的场合．

　　“假定有长度为L的曲线，在其曲线上取怎样的点都具有相同程度的概率（这条曲线上的各点都以相同的概率分布着）．这条曲线的一部分E的长度是l时，在长度L的曲线上取任意点，那么这些点出现在E中的概率就是l／L）．

　　这个定义是关于长度的定义，对于面积和体积也可以同样定义．

　　根据拉普拉斯理论，概率被明确地下了定义．这样，概率对所有的事件只“存在”一个，而“探索”这一个就是概率的任务，这就是拉普拉斯的考虑．这样一来，由拉普拉斯建立起来的概率论没遇到任何阻力就迅速地向前发展了．然而，最基础的地方想不通就会出现这样或那样的矛盾．一个事件中包含着多个事件，有时是无数个事件，这样的概率存在的例子也被发现了．