第一节 椭圆及其标准方程

导出椭圆标准方程的新途径

　　在化简方程： 导出椭圆的标准方程时，用的是两次平方，将无理式化为有理式，过程比较长，运算繁杂．下面介绍两种简便快捷的方法．

方法一：用均值换元法

　　设

 得 ，即

　　将 代入①式得      ③

　　将③式两边平方得

　　即

　　因为 ，设 ，整理得 ．

方法二：用三角换元法

　　设

 得

　　即

　　即 代入④式得

以下同方法一略．

圆锥曲线的产生与发展

　　希腊著名学者梅内克缪斯（公元前4世纪）企图解决当时的著名难题“倍立方问题”（即用直尺和圆规把立方体体积扩大一倍）。他把直角三角形ABC的直角A的平分线AO作为轴。旋转三角形ABC一周，得到曲面ABECE＇，如图 1。用垂直于AC的平面去截此曲面，可得到曲线EDE＇，梅内克缪斯称之为“直角圆锥曲线”。他想以此在理论上解决“倍立方问题。”未获成功。而后，便撤开“倍立方问题”，把圆锥曲线做为专有概念进行研究：若以直角三角形ABC中的长直角边AC为轴旋转三角形ABC一周，得到曲面CB＇EBE＇，如图2。用垂直于BC的平面去截此曲面，其切口为一曲线，称之为“锐 角圆锥曲线”；若以直角三角形ABC中的短直角边AB为轴旋转三角形ABC一周，可得到曲面BC＇ECE＇。如图3。用垂直于BV的平面去截此曲面，其切口曲线EDE＇称为“钝角圆锥曲线”。当时，希腊人对平面曲线还缺乏认识，上述三种曲线须以“圆锥曲面为媒介得到，因此，被称为圆锥曲线的“雏形”。  

　　经过了约二百年的时间，圆锥曲线的研究取得重大突破的是希腊的两位著名数学家奥波罗尼奥斯（公元前三世纪后半叶）和欧几里得（公元前300－前275）奥波罗尼奥斯在他的著作 《圆锥曲线论》中，系统地阐述了圆锥曲面的定义，利用圆锥曲面生成圆锥曲线的方法与构成，而且还对圆锥曲线的性质进行了深入的研究，他发现:（1）椭圆，双曲线任一点M处的切线与 、 （ 、 为两定点，后人称之为焦点）的夹角相等；（2）对于椭圆， （ 为常数，且大于 ）。（3）对于双曲线，  （ 为常数，且小于 ）。 但是，阿波罗尼奥斯对抛物线没有发现这类性质。欧几里得在他的巨著《几何原本》里描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，即：平面内一点F和一定直线AB，从平面内的动点M向AB引垂线，垂足为C，若|MF|：|MC| 的值一定，则动点M的轨迹为圆锥曲线。只可惜对这一定理欧几里得没有给出证明。

　　又经过了500年，到了3世纪，希腊数学家帕普斯在他的著作《汇篇》中，才完善了欧几里得的关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定理进行了证明。他指出，平面内一定点F和一定直线AB，从平面内的动点M向AB引垂线，垂足为C，若|MF|：|MC| 的值一定，则当|MF|：|MC| 的比值小于1时，动点M的轨迹是椭圆，等于1时是抛物线，大于1时是双曲线。至此，圆锥曲线的定义和性质才比较完整地建立起来了。

折纸游戏——椭圆

　　准备一张纸片（如图1）

　　（其中 点表示圆心， 点表示圆内除 点以外的任意一点。）

　　将圆纸片翻折，使翻折上去的圆弧通过 点（图2），将折痕用笔画上颜色。继续上述过程，绕圆心一周。观察看到了什么？想一想为什么？

直线围成了椭圆（如图3）．

　　如图4，设折痕为 ，那么 点关于直线 的对称点 一定在圆弧上．连接 ，交 与 点，连结 ，则 =半径长（定值），所以 点的轨迹是椭圆．

   根据对称性，找到了折痕上一点满足到两定点的距离和等于定长，从而满足椭圆定义，得出结论．

   在这个问题中，怎么知道椭圆上的点恰好是图4中的点 呢？

   是直线 上的点到两点 、 距离之和最小的点（易证），由包络图可以知道，椭圆上的点应该是过该点椭圆的切线上到两点 、 距离之和最小的点（图5）．这就从反面证明了，如果椭圆上的点不是折痕上的 点的话，那么 点就在椭圆内部了，这与图形不符．

　　通过上述的折纸过程及分析、证明过程的讨论，使同学们对椭圆的定义有更深的理解，并且对椭圆的几何性质也有了一个初步的认识．）

　　在这个问题中，涉及到很多的数学知识．如这些折痕实际上是椭圆的切线，在图5－11（4）中，由对称性可知， ，这一点反映在椭圆的光学性质上——如果有一束光从 点出发，经椭圆反射后，反射光一定通过 点，北京天坛公园里的回音壁就是根据这个原理建造的．