第三节 两条直线的位置关系

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直线型经验公式与最小二乘法

　　根据“从点到直线距离公式的应用谈起”（李仲来．数学通报．1998年第11期35～37）改编．本节材料仅是该文一部分，有兴趣的同学可阅读全文和相关专业书籍．

内容简介：

　　众所周知，过1个点可有无数条直线；

　　过2个不同的点可求出唯一的一条直线；

　　过3个不同的点一般不能求出一条直线．

　　显然，过 个不同的点 能否求出一条直线的结论一般是否定的．在实际应用中，问题的提法降低为：能否求出一条回归方程（直线经验公式）

　   　　　　　　　　　　　　（1）

　　可以近似地描述这些点的变化趋势就够了．自然地， 到（1）应满足点到直线的距离应最短的条件．这是我们想起点到直线的距离公式（ ）．

　　那么点 到（1）的距离

∑ / 　　　　　（2）

　　即　 ∑ / ＝最小　　　　　（3）

　　直观分析（3），从既有绝对值，又有跟式的运算条件下确定参数 和 可能比较麻烦．从数学常用的手法看，降低条件看一看．如何降低条件哪，在两部分 和 中去掉前者恐怕不行，因为参数 被去掉了；去掉后者两个参数都在．此时（3）变为：

∑ 　　　　　（4）

　　能否给处（4）的一种比较容易接受的解释？考虑（4）的几何意义，它恰是 到（1）平行于 轴的距离之和，这样，我们使原问题得到简化．

　　虽然（4）的解释得到了，但有绝对值的运算还是不好解决．再改变条件，使用数学上常见的手段：两边平方，得： 最小　（5）

　　在（5）式中对 和 求偏导数（此为高等数学中的概念，看不懂得同学可略过）后，令其为0，解得 ， ，

　　其中 ， ， ，

　　此即常用的最小二乘法，具体可参阅专业书籍．

　　例如，部分国家13岁学生数学测验平均分数为（参考消息：1992—04—09，3版）

　　其经验公式为：

　　以上仅是求出回归方程的一种方法，从（3）到（4），从（4）到（5）还有其它的方法解决，不再叙述，有兴趣的同自己去阅读．

　　说明：该问题是点到直线距离的应用；直线型经验公式在实际中有广泛的应用，从而培养学生用数学的意识；在推导过程中蕴含着的丰富的数学思想方法和高超的数学技巧，以及对“距离”的理解对培养学生的数学技能和数学修养很有裨益．

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