第五节 含绝对值的不等式
与二次函数有关的含有绝对值不等式的证明问题
二次函数是最简单的非线性函数之一,而且有着丰富的内容,它对近代数仍至现代数学影响深远,这部分内容为历年来高考数学考试的一项重点考查内容,经久不衰,以它为核心内容的高考试题,形式上也年年有变化,此类试题常常有绝对值,充分运用绝对值不等式及二次函数、二次方程、二次不等式的联系,往往采用直接法,利用绝对值不等式的性质进行适当放缩,常用数形结合,分类讨论等数学思想,以下举例说明。
1.设 ,当 时,总有 ,求证当 时, .
证明:由于 是二次函数, 在 上最大值只能是 ,或 ,故只要证明 ;当 时,有 ,由题意有 .
由 得
.
.
.
当 时,
.
因此当 时, .
点评:从函数性质的角度分析,要证 时, ,只要证当 时, 的最大值 满足 . 而 又是二次函数,不论 、 、 怎么取值 在 上的最大值只能是 ,或 ,因而只要证明 , ,这里需要特别指出的是要将 与 建立联系,将二次函数中的系数 用 、 、 表示:
,然后用含有绝对值不等式的性质,进行适当放缩。
2.已知 是实数,函数 ,当 时, ,
(1)证明: ;
(2)证明:当 时, ;
(3)设 ,当 时, 的最大值为2,求 . (1996年全国高考题)
证明:(1)依题设得 ,而 所以 .
(2)证法:当 时, 在 上是增函数。
则 时,有 ,又 ,
, ,因此得 .
当 时, 在 上是减函数,则当 时, . 又 ,
, ,因此得 .
当 时, ,
综上可知,当 时,都有 .
(3)依题意 ,故 在 上是增函数,又 在 上的最大值为2,故 ; , .
。
当 时, ,即函数 在区间 的内点 上取得最小值为 ,所以, 是二次函数且它的图像是对称轴 是直线 ,由此得 ,即 .
,故 .
点评:本题运用了赋值法,函数的单调性、二次函数的最小值,含有绝对值不等式的性质等,问题(1)的设置意在降低难度,容易上手,抓住这2分,问题(3)的意义是证明问题(2)中的结论不能改进,从而是精确的,这样(2)、(3)合在一起构成问题的完整解答。本题的设计背景是:对于二次函数 和一次函数 ,给定条件“当 时, ”,则有结论“当 时, ”. 更一般地,对于多项式函数 和 ,给定件“当 时, ”,则有结论“当 时, ”.