第五节 等比数列前n项和
例1.求和: .
分析:当 时, 是由数列 与数列 的相应的项相乘而来的,所以用错位相减法来求和.
解:当 时,
当 时, ,①
左右两边分别乘以 得:
,②
①、②相减得:
于是 .
说明:求和问题要分析数列的项的结构,当通项是一个等差数列与等比数列的乘积时,用错位相减法求和,此时要注意等比数列的公比是否为1(用字母表示公比时).
例2.已知 是等比数列 的前 项和,且有 求 的值.
分析:由两个方程不能求出确定的 ,只能得到一个关系,所以应采用整体代入的方法.
解:设等比数列的首项为 ,公比为 , 由 可知 ,故
两式相除得 ,即 .
于是有
说明:本题强调的是基本量思想与整体思想,整体思想往往是设而不求,整体替换.
例3. 求数列 的24项的和.
分析: ,可用裂项法求和.
解:
.
说明:裂项法是求和的重要方法之一,要把数列的每一项分裂为两项之差,求和时使得中间的大多数项互相抵消了.
例4 设 是由正数组成的等比数列, 是其前 项和.求证: .
分析:先比较 与 的大小,再根据对数函数的单调性得到所要证明的不等式.
证明:设等比数列 的首项为 ,公比为 .
当 时,
当 时,
, ,
故有 .
说明:解题中注意等比数列前 项和公式要对公比进行分类;注意比较两数大小的基本方法是比较法,特别是作差比较法,还要注意结合函数的有关知识.
例5. 已知数列 中, 且当 时, .
(1)求 的通项公式;
(2)求证:
分析:该数列从第二项开始,每一项是其前面所有项之和,于是通项 与一个和有关,所以引入前 项和.
解:(1)设 ,
所以当 时有 ,同时又 ,两式相减得 ,于是 所以 是等比数列,公比为2.
因为 所以 ,故当 时, ,
所以
证明:(2)
说明:在解题中注意项数的初始值,以及数列通项与和的相互转化.