第一节 数列
例1.数列 共有__________项.
分析:数一个数列的项数都是从1开始的,找项与项数的关系关键是找首项与1的关系.
解:已知数列的项数与数列 的项数相同,
又 ,所以又与数列 的项数相同.
因为 共有 个数,所以 共有 个数.
因此 有 个数.
说明:数清项数是解决数列问题的首要问题,在有穷数列中,数列的末项未必是数列的第 项,即有穷数列的项数未必是 .一定要区分有穷数列的末项与通项.
例2.已知数列 中, ,对任意 , ,都有 则 ______.
分析:已知条件 表示了无数个等式: , , ,再加上 这一条件便确定了这个数列,即可递推求出数列的各项.
解:令 ,得 , , .
令 ,得 ,
.令 ,得
令 ,得
.
说明:本题涉及了方程的思想,同时体现了特殊与一般的关系.也可能有学生看出 就求出了数列的通项公式,用代入法便可求出数列的任意一项,如果希望学生看出这一结果,可将所求换成求项数较大的项.
例3.数列 的通项公式为 , 表示数列 的前 项和,求 .
分析:数列的每一项 ,数列的前 项和便抵消了一些项.
解:
.
说明:可以在此补充裂项求和法,当然裂项法不仅仅针对分式形式的通项公式,只要 的形式就行.
例4.在数列 中, ,那么这个数列中的最大项与最小项的项数为____________.
分析:通过函数 的取值情况来探求数列的最大项及最小项.
解:函数 ,其图象是由函数 的图象向右平移 个单位,再向上平移1个单位得到, 根据图象可得 最小, 最大,即第9项最小,第10项最大.
说明:数列的项与项数构成特殊的函数关系,研究其最值的方法就是求函数最值的基本方法,求函数最值的方法之一是数形结合,即利用函数图象来判断最值.
例5.设数列 各项均为正数的数列, ,且满足: , 则数列 的通项公式为____________.
分析:解决此问题有两个思路,一是求出数列的前几项,由此猜出数列的通项公式(因为这是填空题);另一个思路是化简已知递推式(因式分解,降次),使 与 明确,简洁,便于寻求解决方式.
解:由已知得 , , ,
, .
于是有 ,
这 个等式相乘得 ,由于 ,所以 .
说明:这种方法叫做迭乘法,相类似的还有迭加法.