第七节 四种命题

浅谈命题之否定

夏春盛  （江苏省海安双楼职业高级中学  226671）

　　在形式逻辑中，我们把反映事物具有或不具有某种属性或关系的思维形式叫做判断．表达判断的语句叫命题．在数学中，用语言、符号或式子表示的并且能区别真假的语句叫数学命题．命题按能否分解可分为简单命题和复合命题，按其所判断的是事物的性质或存在的关系可分为性质命题和关系命题．在数学证明中，准确无误地写出一个命题的否定式是十分重要的．
1  简单命题的否定
1．1  性质命题的否定
　　每一个性质命题都由主项、谓项、量项、联项四部分组成，其中立项表示被判断的对象；谓项表示主项的性质；量项表示主项的数量，分为全称量项和特称量项，全称量项常用“一切”、“所有”、“每一个”、“任意一个”等词语表达，特称量项常用“有些”、“存在”、“至少有一个”等词语表达；联项表示主项与谓项的联系，分为肯定联项与否定联项，前者常用“是”、“有”表示，后者常用“不是”。“没有”表示．如命题“至少有一个质数不是奇数”中，“质数”为主项，“奇数”为谓项，“至少有一个”为量项，“不是”为联项．
　　性质命题除全称命题和特称命题外，还有一种命题叫做单称命题，它的主项的外延不是一类事物，而是单独的个体．单称命题的否定极为简单，只要否定“联项”即可．例如“2是偶数”的否定为“二不是偶数”；“小王不是团员”的否定为“小王是团员”．
　　而全称命题和特称命题的否定，一般要对“量项”和“联项”同时进行否定，全称与特称互为否定，肯定与否定互为否定．例如，命题“一切矩形是平行四边形”的否定为“存在一个矩形不是平行四边形”；命题“至少有一个质数不是奇数”的否定为“所有的质数都是奇数”．特别要注意的是，由于全称量项表示主项的全部外延，往往可以省略不写，从而在作命题否定时易将全称命题误当为单称命题处理而出错，如将命题p“实数的绝对值是正数”否定 写成“实数的绝对值不是正数”这就错了．很显然，这里的“p”与“ ”都是假命题，“ ”复合命题的真值表相矛盾．究其原因，命题p为全称命题而不是单称命题，省略了量词“所有”，正确的否定形式是“存在一个实数的绝对值不是正数”．事实上由于实数是一个全称概念，命题p应为“实数的绝对值（都）是正数”故其否定形式亦可写成“实数的绝对值不都是正数”．
　　另外，我们常用“都是”表示全称肯定，用“不都是”表示特称否定，这两者互为否定；而用“都不是”表示全称否定，它的否定形式应特称肯定，可用“至少有一个是”来表达．

1．2  关系命题的否定
　　关系命题由主项、谓项和量项三部分组成，主项是存在某种关系的对象，谓项是对象之间的某种关系，量项表示主项的数量（用全称量词和特称量词表示）．关系命题的否定与性质命题的否定相似，需要对“谓项”和“量项”同时进行否定，例如命题“对任意实数x，都有 ”的否定是“存在一个实数x，使得 ”；命题“至少有一个锐角 ，使 ”的否定是“对所有的锐角 ，都有 ”．和性质命题类似，作命题否定时，不能把省略量词的全称命题当作单称命题去做，例如命题“自然数的平方大于零”的否定不是“自然数的平方不大于零”，而是“存在一个自然数的平方不大于零”．

2  复合命题的否定
　　复合命题有五种基本形式，分别用五个逻辑联结词“非”、“且”、“或”、“若…则…”、“等值”（ ）由命题p或q组成．

2．1  非命题 的否定
　　“ ”是对命题“p”的否定，命题“ ”与命题“p”的真假正好相反．对“ ”的否定，就是对命题“p”的否定之否定，因此，命题“p”与命题“ ”具有相同的真值，逻辑学上称为逻辑等价或等价命题．故“p”可作为“ ”的否定（有特殊要求的除外）．例如命题“ 不是有理数”的否定是“ 是有理数”，命题“不是每个人都会开车”的否定是“并非不是每个人都会开车”即“每个人都会开车”．

2．2  联言命题 的否定
　　用联结词“且（ ）”联结两个命题p、q构成的复合命题“ ”称为联言命题．当且仅当p、q，p、q皆真时为真．联言命题 的否定可根据德摩根律“ ”来写，例如命题“2是质数且是偶数”的否定为“2不是质数或不是偶数”；命题“某班至少有一个同学既不会唱歌又不会跳舞”的否定为“某班所有的同学或者会唱歌或者会跳舞”，即“某班没有一个同学既不会唱歌又不会跳舞．

2．3  选言命题（ ）的否定
　　用联结词“或（ ）”联结两个命题p、q，构成的复合命题“ ”称为选言命题．当且仅当p、q皆假时 为假．与联言命题类似，选言命题的否定可根据德摩根律“ ”来写，例如，命题“123是2的倍数或是3的倍数”的否定为“123不是2的倍数且不是3的倍数”；命题“全班同学都是三好生或共青团员”的否定是“全班同学中至少有一个同学不是三好生且不是共青团员”．
　　必须说明的是，日常生活中的“或”有两种意义：可兼的和不可兼的．而在命题中的“或”是可兼的．

2．4  假言命题（ ）的否定
　　用联结词“若…则…”联结两个命题p、q，构成的复合命题“若p则 ”称为p、q的蕴含式或称假言命题．当且仅当p真q假时 为假．由命题演算定律： ，可写出假言命题（ ）的否定．例如，命题“若 ，则 ”（省略量词的全称命题）的否定是“有在实数x和y，使 且 ；命题“若a和b是偶数，则 是偶数”的否定是“存在数a和b是偶数，且 不是偶数”．
　　必须注意，假言命题的否命题与该命题的否定是两个不同的概念．首先，对象不同，否命题仅针对假言命题而言，而任一命题都可以写出它的否定．其次，命题的否定式是原命题的矛盾命题，两者一真一假，而假言命题的否命题则木然，与原命题的真假可能相反也可能相同．如上述命题“若a和b是偶数，则 是偶数”的否命题是“若a或b不是偶数，则 不是偶数”，仍是全称命题，而其否定式“存在数a和b是偶数，且 不是偶数”是一个特称命题．

2．5  等值式命题（ ）的否定
　　用联结词“等值”联结两个命题p、q，构成的复合命题“p等值 ”称为p、q的等值式．当且仅当p、q具有相同的真假值时 为真．等值式“ ”的语言表达也有多种形式，如p当且仅当q；p是q的充分必要条件；若p则q并且若q则p．等值式命题（ ）的否定比较简单，只要否定“联项”即可．例如命题 是实数一元二次方程 有实根的充分必要条件”否定可写成“ 不是实系数一元二次方程 有实根的充分必要条件”；命题“ 等价于 的否定为“ 不等价于 ”。
　　在复合命题五种基本形式的基础上，可以进一步运用逻辑联结词构成新的更复杂的命题．依据上述五种基本形式的命题否定之法则可写出更复杂命题的否定式．

参考文献

　　李素月。《中学数学概念原理和方法》桂林：广西师范大学出版社  1991。6

（出自《数学通讯》2002年第6期）

一个逆否命题的辨析课例

陶兴模

（重庆八中，重庆  400030）

　　导言：前面我们学习了四种命题之间的关系，我们知道，将一个命题“若 则 ”的条件和结论交换，并同时否定所得到的新命题“若 则 ”就是原命题的逆否命题，根据这一法则，请同学们写出命题：“若 全为0，则 的逆否命题。抽一名中等水平的学生甲在黑板上写出，其余学生在下面练习。

　　学生甲写出的逆否命题是：“若 ，则 且 ”。

　　教师：请同学们根据自己的思考，试判断学生甲写的逆否命题是对还是错？

　　学生乙：因为一个命题与它的逆否命题同真同假，原命题“若 、 全为0，则 ”是一个真命题，它的逆否命题也应该是一个真命题。当 时，只有 且 时才是真命题，因此，甲写出的逆否命题是正确的。

　　学生丙：有！我认为学生甲写出的逆否命题是错误的，其理由是：原命题中条件“ 、 全为0”是否定不应该是“ 且 ”，而应该是“ 、 不全为0”，因此，所给命题的逆否命题应该是：“若 ，则 、 不全为0”。

　　教师：你（学生丙）能不能将理由说得更具体一些？

　　学生丙：我还没有深入考虑，只能说到这个层次。

　　乙、丙两个同学的发言都有道理，谁对谁非教师暂时不作裁决，让他们再继续思考。

　　教师：甲、丙两个同学给出了两个不同的答案，究竟哪能一个答案对呢？还有没有其它的答案呢？

教师趁势提出以下两个问题，让学生练习。

　　问题1  写出例题“若 ， ，则 ”的逆否命题。

　　问题2  写出命题“若 ， ，则 ”的逆否命题。

　　让两上学生（学生丁解答问题1，学生戊解答问题2）在黑板上写出，其作学生在下面练习。

　　学生丁对问题1写出的逆否命题也是：“若 ，则 且 ”。

　　学生戊对问题2写出的逆否命题也是：“若 ，则 且 ”。

　　教师：学生丁，学生戊写出的结论对吗？学生己：丁、戊两位同学写出的逆否命题都正确。

　　教师：请你（学生乙）说说判理由。

　　学生乙：因为一个命题与它的逆否命题同真同假，问题1，问题2给出的原命题都是真命题，它们的逆否命题也应该是真命题，当 时，只有 且 时才是真命题，因此，丁、戊两位同学写出的逆否命题都是正确的。

　　教师：还有没有相反的判断结论？

　　学生庚：有！我认为丁、戊两位同学写出的结论都是错的。教师：为什么？

　　学生庚：我学得问题1的条件“ 且 ”，而应该是“ 或 ”，问题2的条件“ ， ”的否定不应该是“ 且 ”，而应该说是“ 或 ”，因此，问题1的逆否命题应该是“若 ，则 或 ”；问题2的逆否命题应该是“若 ，则 ， ”。

　　教师：你（学生庚）能不能把理由再说详细一点？

　　学生庚：我只能作出这样一种判断，其理由我还没有思考成熟。

　　教师：请大家再思考，到底是学生己的判断正确，还是学生庚的判断正确？

　　此时，有的说学生己的判断对，有的说学生庚的判断对，还有的说学生己和学生庚的判断都对，因为他们说得都有道理。这时，该由教师作裁决了。

　　裁决1  我们知道，原命题和它的逆否命题是互为逆否的关系，当我们把逆否命题作为原命题时，它的逆否命题就是原命题，学生甲、丁、戊对三个不同的命题

　　“若 且 ，则 ”                         （1）

　　“若 且 ，则 ”                         （2）

　　“若 且 ，则 ”                         （3）

　　写出的逆否命题都是同一个命题：“ ，则 且 （4）

　　我们把命题（4）作为原命题，则它的逆否命题就应该是（1），（2），（3），这样就出现了一个命题存在三个逆否命题，究竟取哪一个？三个都对吗？三个都对显然不可能。因为 且 的否定是唯一的，它的否定应该是 或 ，而不应该是 且 ； 且 ； 且 ；因此，甲、丁、戊三个同学写出的逆否命题都是错误的。

　　裁决2  一个命题的逆命题的条件应该是原命题结论的否定，逆否命题结论应该是原命题条件的否定，对于原名题，“若 ， 全为0，则 ”，其结论 的否定应该是 ，这一点无可非议，关键是条件“ ， 全为0”的否定应该是什么？下面我们对此进行全面的分析： ， 全为0，即是 且 其否定应该是“ ， 不全为0”，所以，学生丙的答案正确，同理可以分析得出学生庚的判断是正确的，请同学们课后去分析。

　　裁决3  学生丙写出的逆命题“若 则 ， 不全为0”是一个真命题。 ， 不全为0就 ， 中至少有一个不等于0，也就是 或 ，它包含三种情况，① ， ；② ， ；③ ， 。由 可推出 或 为真；由 且 为真可推出 或 为真，因此，命题“若 则 ， 不全为0”是一个真命题，这说明学生丙的答案没有违背一个命题与它的逆否命题同真同假这一规律。

　　裁决4  写一个命题“若 则 ”的逆否命题“若 则 ”，我们不能够根据所写的命题与原命题同真同假作为逆否命题的判断依据，一个命题与原命题同真同假只是一个命题是原命题的逆否命题的一个必要条件，而不是充分条件，判断判断逆否命题的标准应该是从定义出发，逆否命题的条件应该是原命题的结论的否定，逆否命题的结论应该原命题的条件的否定。这才是判断的依据。例如，命题“若 ，则 且 ”与原命题“若 ， 全为0，则 ”同时为真命题。但是，它并不是原命题的逆否命题，因为“ 且 ”不是原命题条件“ ， 全为0”的否定。写一个命题“若 则 ”的逆否命题“若 则 ”，其关键在于正确地写出非 和非 ，对于含有量词的全称命题和存在性命题，它们的否定要仔细推敲。

　　一般地，关于存在性命题 ，对于任意 ，都有 成立，它的否定命题是 ：存在 ，使 不成立。

　　通过学生的辨析和教师给出的四个裁决，学生不仅明白了命题正误的判定方法和理由；而且对一般的全称命题和存在性命题的逆否命题该怎样写也了一定程度的认识。

（出自《数学通讯》2002年   第11期）