第六节 逻辑联结词
例1下列语句中,哪些是命题?哪些不是命题?
(1)若 ,则 ,且 ;
(2)若 ,则 ,且 ;
(3)任何集合都有一个子集;
(4)若 ,或 ,则 ;
(5) .
解:(1)由 ,只能推出 ,或 . ,且 不一定成立.所以此语句是假的,则它是命题.
(2)由 ,则得 与 必同时为0(若 、 中至少有一个不为0,那么 ),即 且 .此语句为真,则它是命题.
(3)因为空集是任何集合的子集,所以任何一个集合必有一个子集 .此语句为真,则是命题.
(4)由 ,或 都能推出 ,所以此语句为真,则是命题.
(5)因为 与0的关系随 取值的变化而变化,所以不能判断 的真假,则不是命题.
例2 分别指出由下列命题构成的“ 或 ”“ 且 ”“非 ”形式复命题的真假:
(1) : ; :
(2) :3是163的约数; :-3是方程 的解。
(3) :四边形两组对边分别平行; :四边形两组对边分别相等。
(4) : ; :四边形两组对边分别相等。
解 (1)因为 真 假,所以,“ 或 ”为真,“ 且 ”为假,“非 ”为假。
(2)因 假 真,所以,“ 或 ”为真,“ 且 ”为假,“非 ”为真。
(3)因为 假 假,所以,“ 或 ”为假,“ 且 ”为假,“非 ”为真。
(4)因为 真 真,所以,“ 或 ”为真,“ 且 ”为真,“非 ”为假。
例3 填空题:分别用“ 或 ”“ 且 ”“非 ”填空,并指出命题的真假。
(1)命题“1997年7月1日是中国共产党的生日,又是香港回归祖国的日子”为 形式,此命题为 。
(2)命题“方程 没有实数根”为 形式,此命题为 。
(3)命题“矩形有外接圆或有内切圆”为 形式,此命题为 。
(4)命题“ ”为 形式,此命题为 。
解:(1)“ 或 ”的形式,其中 :1997年7月1日是中国共产党的生日; :1997年7月1日是香港回归祖国的日子。因为 真 真,所以“ 或 ”是真命题。
(2)“非 ”的形式,其中 : 有实数根。因为 真,所以“非 ”是假命题。
(3)“ 或 ”的形式,其中 :矩形有外接圆; :矩形有内切圆。因为 真 假(为什么),所以“ 或 ”是真命题。
(4)“非 ”的形式,其中 : 。因为 真,所以“非 ”是假命题。
例4 分别指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题,并判断它们的真假.
(1)三个角相等的三角形不是直角三角形;
(2) 的元素既是 的元素又是 的元素;
(3)若 是 的元素或 是 的元素,则 是 的元素;
(4)两条对角线垂直的平行四边形是菱形或正方形;
(5) 不是方程 的解.
解:(1)这个命题是“非 ”的形式,其中 :三个角相等的三角形是直角三角形.
因为 是假命题,所以这个命题是真命题.
(2)这个命题是“ 且 ”的形式,其中 : 的元素是 的元素, : 的元素是 的元素.
因为 、 都是真命题,所以这个命题是真命题.
(3)这个命题是“ 或 ”的形式,其中 :若 是 的元素,则 是 的元素, :若 是 的元素,则 是 的元素.
因为 、 都是真命题,所以这个命题是真命题.
(4)这个命题是“ 或 ”的形式,其中
:两条对角线垂直的平行四边形是菱形,
:两条对角线垂直的平行四边形是正方形.
因为 是真命题, 是假命题,所以这个命题是真命题.
(5)这个命题是“非 ”的形式,其中
: 是方程 的解.
因为 是真命题,所以这个命题是假命题.
例5 分别指出由下列各组命题构成的“ 或 ”、“ 且 ”、“非 ”形式的复合命题的真假.
(1) : 在集合 中, : 在集合 中.
(2) :方程 有两正根, :方程 有两实数根.
(3) :集合 是集合 的子集,
:集合 是集合 的子集.
解:(1)因为 为真,而 , 为假,所以“ 或 ”为真,“ 且 ”为假,非 为假.
(2)因为方程 中两根之积为负,所以 为假, 为真,
所以“ 或 ”为真,“ 且 ”为假,“非 ”为真.
(3)因为 为真,而 ,所以, ,即 为假.
注:(1)当 、 均为真命题时,“ 且 ”才为真命题.(2)只要 或 中有一个为真命题,“ 或 ”必为真命题.即“ 或 ”为真命题的要求“不高”.
例6 选择题
(1) 和 都是简单命题,那么下列结论正确的是( ).
A. 真,则“ 且 ”一定真 B. 假,则“ 且 ”不一定假
C.“ 且 ”真 一定真 D.“ 且 ”假,一定假
(2)命题“ 且 ”与命题“ 或 ”都是假命题,那么下列结论正确的是( ).
A.命题“非 ”与命题“非 ”其值不同;
B.命题“非 ”与命题“非 ”至少有一个为假命题;
C.命题“非 且非 ”是真命题;
D.命题 与命题“非 ”真值相同.
(3)若命题“ 或 ”与命题“ 且 ”都是真命题,那么下列四个结论中正确的个数是( ).
①命题 一定是真命题; ②命题 不一定是真命题;
③命题 不一定是真命题; ④命题 与 的真值相同.
A.1 B.2 C.3 D.4
分析 由真值表知:
(1)“非 ”形式复合命题的真假与 的真假相反;
(2)“ 或 ”形式复合命题当 与 同为假时为假,其他情况均为真;
(3)“ 且 ”形式复合命题当 与 同为真时为真,其他情况均为假.
解:(1)选(C);(2)选(C);(3)只有①、④正确.选(B).