第十九节 圆的周长、弧长
典型例题
例1、半径为4cm,50°的圆心角所对应的弧长是多少?
解:设弧长为lcm,∵n=50°,
R=4,∴l (cm).
说明:弧长公式的简单应用.
例2、已知:弧长为l,它所对应的圆心角为120°,求这条弧所对应的弦长.
解:如图,∠AOB=120°, 的长=l,
则l ,∴R= l,
作OH⊥AB于H,在Rt△AOH中,∠A=30°,
∴AH=AO·cos30°= l,∴AB=2AH= l.
答:这条弧所对应的弦长为 l.
说明:(1)灵活应用弧长公式、解直角三角形、锐角三角函数;(2)弧长公式l 中三个变量l、n、R,知道其中任两个量,就可求出第三个量,其中n没有单位,是圆心角的度数,l与R的单位一致.
例3、某地工人为了用起重机吊起两条半径分别为10cm和30cm的钢管,需要先用钢丝绳把这两条钢管捆绑扎紧.问扎紧这两条钢管的钢丝绳至少要多长(打结部分不计,结果化简后可用π和根式表示)?
解: 设大、小管的轮廓线分别为⊙Ol和⊙O2,如图所示.
依题意,两圆外切,设切点为P.两圆的外公切线与⊙Ol和⊙O2分别切于A,B,E,F.连OlA,O2B,作O2C⊥OlA于点C,则
OlC=OlA-CA=OlA-O2B=20,OlO2=30+10=40.
在Rt△OlO2C中,
.
∴AB= .
又 ,∴∠A OlO2=60°,∠AOlE=120°.
∴ 的长= . 的长= .
∴钢丝的长=2AB+ 的长+ 的长=
∴扎紧这两条钢管的钢丝绳至少要 (cm).
说明:本题综合应用圆与圆的有关知识.求公切线的长、弧长等知识.
例4、(福州市,2002)如图:四边形ABCD是正方形,曲线DAlBlClDl……叫做“正方形的渐开线”,其中 、 、 、 、…的圆心依次按A、B、C、D循环,它们依次连接.取AB=l,则曲线DAlBl…C2D2的长是______(结果保留π).
分析: 的长= , 的长= , 的长= , 的长= ,……
找出规律,可求.答案:18π.
说明:本题不仅应用弧长公式,更重要地是利用了归纳法.