第七节 二次函数y=ax2+bx+c的图象

二次函数的图象

第二课时

　　一、教学目标

　　1．使学生会用描点法画出二次函数 的图像；

　　2．使学生知道抛物线 的对称轴与顶点坐标；

　　3．通过本节的学习，继续培养学生的观察、分析、归纳、总结的能力；

　　4．通过本节的教学，继续向学生进行数形结合的数学思想方法的教育，同时向学生渗透事物间互相联系、以及运动、变化的辩证唯物主义思想；

　　5．通过本节课的研究，充分理解并认识到二次函数图像可运动变化的和谐美，通过数学思维的审美活动，提高对数学美的追求。

　　二、教学重点

　　会画形如 的二次函数的图像，并能指出图像的开口方向、对称轴及顶点坐标。

　　三、教学难点：确定形如 的二次函数的顶点坐标和对称轴。

　　4．解决办法：

　　四、教具准备

　　三角板或投影片

　　1．教师出示投影片，复习 。

　　2．请学生动手画 的图像，正好复习图像的画法，完成表格。

　　3．小结 的性质

　　4．练习

　　五、教学过程

　　提问：1．前几节课，我们都学习了形如什么样的二次函数的图像？

　　答：形如 。（板书）

　　2．这节课我们将来学习一种更复杂的二次函数的图像及其相关问题，你能先猜测一下我们将学习形如什么样的二次函数的问题吗？

　　由学生参考上面给出的三个类型，较容易得到：讨论形如 的二次函数的有关问题．（板书）

　　一、 复习引入

　　首先，我们先来复习一下前面学习的一些有关知识．（出示幻灯）

　　请你在同一直角坐标系内，画出函数 的图像，并指出它们的开口方向，对称轴及顶点坐标．

　　这里之所以加上画函数 的图像，是为了使最后通过图像的观察能更全面一些，也更直观一些，可以同时给出图像先沿y轴，再沿 轴移动的方式，也可以给出图像

　　先沿 轴再沿y轴移动的方式，使这部分知识能更全面，知识与知识之间的联系能更清晰、更具体．

　　画这三个函数图像，可由学生在同一表中列值，但是要根据各自的不同特点取自变量

　　的值，以便于学生进行观察．教师可事先准备好表格和画有直角坐标系的小黑板，由一名同

　　学上黑板完成，其他同学在练习本上完成，待同学们基本做完之后加以总结，然后再找三名

　　同学，分别指出这三个图像的开口方向、对称轴及顶点坐标，填入事先准备好的表格中．

　　然后提问：你能否在这个直角坐标系中，再画出函数 的图像？

　　由于前面几节课我们已经画了不少二次函数的图像，学生对画图已经有了一定的经验，

　　同时可在画这个图时，把这些经验形成规律，便于学生以后应用．

　　（l）关于列表：主要是合理选值与简化运算的把握，是教学要点．在选值时，首先要考虑的是函数图像的对称性，因此首先要确定中心值，然后再左，右取相同间隔的值；其次，选值时尽量选取整数，便于计算和描点．

　　在选取 的值之后，计算y的值时，考虑到对称性，只需计算中心值一侧的值，另一侧由对称性可直接填入，但一定要保证运算正确．

　　（2）关于描点：一般可先定顶点（即中心值对应的点，然后利用对称性描出各点，以逐步提高速度．）

　　（3）关于连线：特别要注意顶点附近的大致走向。最后画的抛物线应平滑，对称，并符合抛物线的特点．

　　由学生在上面的练习中所列的表中填上这个函数及其对应值，然后画出它的图像，同样找一名同学板演．

　　学生画完，教师总结完之后，让学生观察黑板上画出的四条抛物线，提问：

　　（1）你能否指出抛物线 的开口方向，对称轴，顶点坐标？

　　将在上面练习中三条抛物线的性质填入所列的有中，如下表：

　　（2）我们已知抛物线的开口方向是由二次函数 中的a的值决定的，你能通过上表中的特征，试着总结出抛物线的对称轴和顶点坐标是由什么决定的吗？

　　这个问题由于是本节课的重点问题，而且不是很容易说清楚，可由学生进行广泛的讨论，先得出对称员的表示方法，再得出顶点坐标。若学生在讨论时没有头绪，教师可适当引导，让学生把这四个函数都改写成 的形式，可得
　　 ；

　　

　　 。然后从这四个式子中加以观察，分析，得出结论；（板书）

　　一般地，抛物线 有如下特点：

　　① 时，开口向上； 时，开口向下；

　　②对称轴是直线 ；

　　③顶点坐标是 。

　　（3）抛物线 有什么关系？

　　答：形状相同，位置不同。

　　（4）它们的位置有什么关系？

　　这个问题可视学生的程度来决定问还是不问，以及回答到什么程度。

　　根据上节课的学习，学生能想到是平移科来的，可把这四个图像分成以下几个问题来讨论：①抛物线 是由抛物线 怎样移动得到的？

　　②抛物线 是由抛物线 怎样移动得到的？

　　③抛物线 是由抛物线 怎样移动得到的？

　　④抛物线 是由抛物线 怎样移动得到的？

　　⑤抛物线 是由抛物线 怎样移动得到的？

　　这个问题分两种方式回答：先沿 轴，再沿 轴移动；或先沿 轴，再沿 轴移动。

　　通过这5个问题可使学生由浅入深地得到这四者之间的关系，如图所示：

　　注意：基本形式中的符号，特别是h。

　　练习：P120练习口答，及时纠正错误。

　　（四）总结、扩展

　　一般的二次函数，都可以变形成 的形式，其中：

　　1．a能决定什么？怎样决定的？

　　答：a的符号决定抛物线的开口方向；a的绝对值大小抛物线的开口大小。

　　2．它的对称轴是什么？顶点坐标是什么？

　　六、布置作业

　　教材P124中1（3）；P124中3（1）、（2）；P125中

　　七、板书设计

　　

二次函数 的图象

　　教学目标：

　　1、使学生进一步理解二次函数的基本性质；

　　2、渗透解析几何，数形结合，函数等数学思想.培养学生发现问题解决问题，及逻辑思维的能力.

　　3、使学生参与教学过程，通过主体的积极思维，体验感悟数学.逐步建立数学的观念，培养学生独立地获取知识的能力.

　　教学重点：初步理解数形结合的数学思想

　　教学难点：初步理解数形结合的数学思想

　　教学用具：微机

　　教学方法：探究式、小组合作学习

　　教学过程：

　　例1、已知：抛物线y=x²－（m²－1）x－2m²－2

　　⑴求证：无论m取什么实数，抛物线与x轴一定有两个交点

　　⑵m取什么实数时，两交点间距离最短？是多少？

　　解：

　　　△ = (m²－1)²＋4(2m²＋2)

　　　= m⁴－2m²＋1＋8m²＋8

　　　= m⁴＋6m²＋9

　　　= (m²＋3)²

　　　m²≥0

　　　∴m²＋3＞0

　　　∴△＞0 

　　　∴抛物线与x轴有两个交点

　　问题：为什么说当△＞0时，抛物线y = ax²+bx+c与x轴有两个交点.（能否从数和形两方面说明）

　　设计意图：在课堂上创设让学生说数学的机会，学会合作学习，以达到①经验共享，在思维的碰撞中共同提高.②学会合作，消除个人中心.③发现自我，提高参与度.④弘扬个体的主体性，形成健康，丰富的个性.

　　数：点在曲线上，点的坐标满足曲线的方程.反之，曲线方程的每一个实数解对应的点都在曲线上.抛物线与x轴的交点，既在抛物线上，又在x轴上.所以交点的坐标既满足抛物线的解析式，也满足x轴的解析式.设交点坐标为（x，y）

　　∴

　　    这样交点问题就转化成求这个二元二次方程组的解.代入y = 0，消去y，转化成ax²+bx+c=0这个一元二次方程求根问题.根据以前学过的知识，当△＞0时， ax²+bx+c=0有两个不相等的实根.∴y = ax²+bx+c

　　y = 0

　　有两个不等的实数解

　　∴抛物线与ｘ轴交于两个不同的点.

　　形：顶点在ｘ轴上方，且开口向下.或者顶点在ｘ轴下方，且开口向上.

　　设计意图：渗透解析几何的基本思想

　　使学生掌握转化思想使学生在解题过程中，感知数学的直观性和形式化这二重性.掌握数形结合，分类讨论的思想方法.逐步学会数学的思维.

　　

　　转化成代数语言为：

　　　 　　

　　小结：第一种方法，根据解析几何的基本思想.将求曲线的交点问题，转化成求方程组的解的问题.

　　第二种方法，借助于图象思考问题，比较直观.发现规律后，再用数学的符号语言将其形式化.这既体现了数学中的数形结合的思想方法，也是探索解数学问题的一般方法.

　　思考：试从数、形两方面说明抛物线与x轴的交点个数与判别  式的符号的关系.

　　设计意图：数学学习是一个再创造的过程，不能等同于数学知识的汇集，而要让学生经历数学知识的创造过程.使主体积极地参与到学习中去.以数学知识为载体，揭示出蕴涵于其中的数学思想方法，逐步形成数学观念.

　　⑵m取什么实数时,两交点间距离最短?是多少?

　　解：设二次函数与x轴的两交点为(x₁,0)，(x₂,0)

　　解法㈠ 由⑴可知m为任何实数时, 都有△＞0

　　解①

　　　∴  x₁＋x₂=m²－1

　　　x_1·x₂=－2(m²＋1)

　　　∴│x₂－x₁│=

　　　=

　　　=

　　　=

　　　= m²＋3

　　　∴当m =0时,两交点最小距离为3

　　这里两交点间距离是m的函数

　　设计意图：培养学生的问题意识.在解题过程中，发现问题，并能运用已有的数学知识，将其一般化，形式化，解决问题，体会数学问题解决的一般方法.培养学生独立地获取数学知识的能力.渗透函数思想

　　问题： 观察本题两交点间距离与判别式的值之间有何异同？具有一般的规律吗？如何说明.

　　设x₁、x₂ 为ax²+bx+c = 0的两根

　　可以推出：

　　还可以理解为顶点到x轴距离最短.

　　设计意图：在对比、分析中，明确概念，揭示知识间的联系，帮助学生建立良好的认知结构.

　　小结：观察这道题的结论，我们猜测出规律，将其一般化，推导出这个公式，这是学习数学知识的一般方法.

　　解法㈡：用十字相乘法或求根公式法求根.

　　思考：一元二次方程与二次函数的关系.

　　思考：求m取什么实数时，y = x²－（m²－1）x  －2 m²－2被直线y = 2所截得的线段最短？是多少？

　　练习：

　　观察函数 的图象，回答：

　　（1）y>0时，x的取值范围如何？

　　（2）y=0时，x取什么值？

　　（1）y<0时，x的取值范围如何？

　　小结：数与形是数学中相互依赖的两个方面.图形比较直观，可以启发思路；而数学的严格证明也是必不可少的.直观性和形式化是数学的两重性.