第三节 函数的图象

典型例题

　　例1、在赵庄通向省城的公路上，甲乙二人同时向距赵庄60千米的省城进发.甲从距赵庄10千米处以15千米/小时的速度骑自行车，乙从甲前方30千米处以5千米/小时的速度步行.

　　(1)分别求甲、乙二人与赵庄距离 （千米）、 （千米）和所用时间（小时）的函数关系式；

　　(2)在同一坐标系下画出这两个函数的图象.这两个函数图象如果相交说明了什么？

　　分析：甲距赵庄的距离 =10+甲走的距离

　　即 ；

　　同理

　　解：（1）

　　　

　　（2）甲走完全程用时为 ；

　　　乙走完全程用时为 ．

　　　又时间

　　　所以 的自变量 的取值范围是

　　　 的自变量 的取值范围是

　　列表如下：

	０	１	２	３
	10	25	40	55

	0	1	2	3	4
	40	45	50	55	60

　　根据表中数据作图．这两个函数的图象相交，说明甲、乙二人相遇，也就是甲从后面追上了乙．

　　说明：（1）画函数图象时，应先确定函数的自变量取值范围；

　　（2）画函数图象时，要标明函数解析式．

　　例2、一函数的图象如下图，根据图象：

　　（1）确定自变量x的取值范围；

　　（2）求当 时，y的值；

　　（3）求当 时，对应的x的值；

　　（4）当x为何值时，函数值y最大？

　　（5）当x为何值时，函数值y最小？

　　（6）当y随x的增大而增大时，求相应的x值在什么范围内？

　　（7）当y随x的增大而减小时，求相应的x值在什么范围内？

　　分析：函数图象上每一点的横坐标都是自变量x的一个值，自变量的取值范围就是图象上各点的横坐标的最小值到最大值，即图象上最左端点的横坐标到右端点的横坐标.函数y的最大值就是函数图象上最高点的纵坐标，函数的最小值就是函数图象上最低点的纵坐标.函数图象从左到右，自变量x的值不大增大，此时，如果图象自下而上，那么函数值y在减小.

　　解：

　　（1）自变量x的取值范围是

　　（2）当 时，y = 3.3,　当 时，y = 2的值；

　　（3）当 时，与之对应的x的值是 和4，当 时，与之对应的x的值是 ；

　　（4）当 时，y的值最大，此时 ；

　　（5）当 时，y的值最小，此时， ；

　　（6）当y随x的增大而增大时，相应的x值在 ＜ 内；

　　（7）当y随x的增大而减小时，求相应的x值在 内？

　　说明：（1）用图象法表示函数形象、直观，但不精细，因此，从图象上观察的数值往往是近似值，只有通过具体函数解析式的计算，才能得到精确值.

　　（2）当函数图象从左下到右上呈“撇”状时，函数y随x的增大而增大；当函数图象从左上到右下呈“捺”状时，函数y随x的增大而减小.反之也对.

　　（3）从函数图象求函数的某些值、研究函数y随自变量x的变化规律是数形结合思想的具体体现.

　　例3、若点 在函数 的图象上，且当 时， ．

　　(1)求a、c的值；

　　(2)如果点（-1，m）和点（n ，6）也在函数的图象上，求m ，n的值.

　　解：（1） 点 在函数 的图象上，

　　　

　　　又当 时， ，

　　　

　　　即

　　　解  得

　　（2）

　　　     函数为

　　　    点 和点 在函数图象上

　　　

　　说明：应向学生强调：若点在图象上，则点的横坐标，纵坐标满足这个函数的解析式.

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