第一节 平面直角坐标系

教学设计示例

　　教学目标：

　　 1、使学生进一步熟悉由坐标确定点和由点求坐标的方法.理解平面内的点与有序实数对之间的一一对应关系.

　　 2、会用象限和坐标轴说明直角坐标系内点的位置，并会根据点的位置，确定点的横坐标、纵坐标的符号.

　　 3、掌握确定已知点关于坐标轴（或原点）的对称点的方法.培养学生观察，归纳总结的能力.

　　 4、培养学生发现问题，主动探索的能力.在与同伴的合作交流中，培养学生的责任心.

　　 5、渗透数形结合的思想，培养学生思维的严谨性和深刻性.

　　教学重点：

　　1、掌握象限或坐标轴上的点的坐标的特点.

　　2、会求已知点关于坐标轴或原点的对称点的坐标.

　　教学难点：理解平面内的点与有序实数对之间的一一对应关系.

　　教学用具：直尺、计算机

　　教学方法：合作学习，讨论，探究

　　教学过程：

　　1、提出问题，主动探索

　　上节课我们学习了平面直角坐标系的概念，并介绍了象限与坐标轴.初步体会到平面内的点与有序实数对是一一对应的.今天我们需要开始新的探索，发现数学知识.

　　下面看例1

　　例1、指出下列各点所在象限或坐标轴；

　　

　　你能发现什么规律吗？

　　解：描点画图后，可以从图中观察出，A点在第二象限；B点在第三象限；C点在第四象限；D点在第一象限；E点在x轴上；F点在y轴上.

　　做完这道题后，你发现能直接从点的坐标判断出点所在象限或坐标轴吗？

　　通过学生的分组讨论后，可总结如下：

　　象限与坐标轴的定义都是以图形的形式直观给出的.通过本例题，又总结出了相应的代数规律.渗透了数与形的结合.并培养了学生由特殊到一般的抽象思维能力.

　　练习: 习题13.1的第三题

　　例2、在直角坐标系中,标出下列各对点的位置,

　　并发现其中的规律.

　　(1)(3,5),(2,5)

　　(2)(1,2),(1,-3)

　　(3)(4,4),(6,6)

　　(4)

　　通过观察可以总结出:平行于x轴的直线上的点,其纵坐标相同，横坐标为任意实数；平行于y轴的直线上的点，其横坐标相同，纵坐标为任意实数.

　　另外一、三象限内，两坐标轴夹角平分线上的点，其横坐标与纵坐标相同；二、四象限内，两坐标轴夹角平分线上的点，其横坐标与纵坐标互为相反数.

　　建议：如果学生在观察时有困难，可以适当增加题量，丰富观察的对象，逐步得出最后的结论.

　　这些规律也是有其必然的，如两点的纵坐标相同，则这两点在x轴的同侧，且到x轴的距离相等，由平面几何的知识，可推出这两点的连线平行于x轴.其它的性质也有其存在的道理.通过对规律的总结，渗透数形结合思想，并让学生体会数学知识的形成过程.而点的坐标不同，它在平面上的位置也不相同.即平面上的点与有序实数对是一一对应的.从图中可以看出.

　　例3、 在直角坐标系中，描出下列各点

　　⑴（2，1），　　（－2，1）

　　⑵（-3，4），　　（-3，-4）

　　⑶（5，－4），　（-5，－4）

　　你能发现上述各对点的位置有何特点吗？它们的坐标有何异同？你能总结出一般的规律吗？并说明其中的道理吗？

　　解：(从图中观察出的点的位置)特点　　两点坐标间关系

　　（1）两点关于y轴对称　　　　　　　横坐标为相反数，纵坐标相同

　　（2）两点关于x轴对称　　　　　　　横坐标相同，纵坐标为相反数

　　（3）两点关于原点对称　　　　　　　横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数

　　这道题能引发我们得出什么样的结论呢？（答案不固定，本教案只给出参考答案）.我们可以这样说：对于直角坐标平面上的任意两点，如果它们的横坐标相反，纵坐标相同，则它们关于y轴对称；如果它们横坐标相同，纵坐标相反，则它们关于x轴对称；如果题目的横、纵坐标都相反，则它们关于原点对称，反之亦然.

　　以上的规律可以解决很多问题，比如，已知点（-10，3）.求这个点关于x轴、y轴，及原点的对称点的坐标.

　　答：（-10，-3）；（10，3）；（10，-3）.

　　你想过这其中的道理吗？

　　如两点关于y轴对称.根据轴对称的定义，这两点的连线垂直于y轴，且到y轴的距离相等.所以这两点的连线就平行于x轴，它们的纵坐标相同，对称点在y轴的两点.到y轴的距离相等.即这两点的横坐标相反.

　　类似地，可以组织学生进行其它两种情况的讨论.这个规律只要求学生能理解，并不要求严格地证明.通过学生的主动探索，复习了对称的概念，体验了数形的结合.亲身经历了数学知识的形成过程.也增强了学生的自信心，激发了他们互动探索的精神.

　　小结：本节我们讨论了三道例题，这三道题都是大家共同讨论，通过观察归纳总结探索出的规律，这也是数学知识产生的一种过程.而且每道题的解决都离不开数形结合的思想.而且也能逐步体会出平面内的点与有序实数对之间的一一对应关系.这一部分知识为今后的学习打下了基础，希望大家能真正地理解并能熟练应用.

　　作业：习题13.1B组的1-3.

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教学设计示例

函数 第二课时

　　教学目标：

　　1、进一步理解函数的概念，能从简单的实际事例中，抽象出函数关系，列出函数解析式；

　　2、使学生分清常量与变量，并能确定自变量的取值范围.

　　3、会求函数值，并体会自变量与函数值间的对应关系.

　　4、使学生掌握解析式为只含有一个自变量的简单的整式、分式、二次根式的函数的自变量的取值范围的求法.

　　5、通过函数的教学使学生体会到事物是相互联系的.是有规律地运动变化着的.

　　教学重点：了解函数的意义，会求自变量的取值范围及求函数值.

　　教学难点：函数概念的抽象性.

　　教学过程：

　　 （一）引入新课：

　　上一节课我们讲了函数的概念：一般地，设在一个变化过程中有两个变量x、y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数.

　　生活中有很多实例反映了函数关系，你能举出一个，并指出式中的自变量与函数吗？

　　1、学校计划组织一次春游，学生每人交30元，求总金额y（元）与学生数n（个）的关系.

　　2、为迎接新年，班委会计划购买100元的小礼物送给同学，求所能购买的总数n（个）与单价（a）元的关系.

　　解：1、y=30n

　　y是函数，n是自变量

　　2、 ，n是函数，a是自变量.

　　（二）讲授新课

　　刚才所举例子中的函数，都是利用数学式子即解析式表示的.这种用数学式子表示函数时，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义.如第一题中的学生数n必须是正整数.

　　例1、求下列函数中自变量x的取值范围．

　　（1） 　　（2）

　　（3） 　　（4）

　　（5） 　　（6）

　　分析：在（1）、（2）中，x取任意实数， 与 都有意义.

　　（3）小题的 是一个分式，分式成立的条件是分母不为0.这道题的分母是 ，因此要求 .

　　同理（4）小题的 也是分式，分式成立的条件是分母不为0，这道题的分母是 ，因此要求 且 .

　　第（5）小题， 是二次根式，二次根式成立的条件是被开方数大于、等于零. 的被开方数是 ．

　　同理，第(6)小题 也是二次根式, 是被开方数,

　　 .

　　解：（1）全体实数

　　（2）全体实数

　　（3）

　　（4） 且

　　（5）

　　（6）

　　小结：从上面的例题中可以看出函数的解析式是整数时，自变量可取全体实数；函数的解析式是分式时，自变量的取值应使分母不为零；函数的解析式是二次根式时，自变量的取值应使被开方数大于、等于零.

　　注意：有些同学没有真正理解解析式是分式时，自变量的取值应使分母不为零，片面地认为，凡是分母，只要 即可.教师可将解题步骤设计得细致一些.先提问本题的分母是什么？然后再要求分式的分母不为零.求出使函数成立的自变量的取值范围.二次根式的问题也与次类似.

　　但象第（4）小题，有些同学会犯这样的错误，将答案写成 或 .在解一元二次方程时，方程的两根用“或者”联接，在这里就直接拿过来用.限于初中学生的接受能力，教师可联系日常生活讲清“且”与“或”.说明这里 与 是并且的关系.即2与-1这两个值x都不能取.

　　例2、自行车保管站在某个星期日保管的自行车共有3500辆次，其中变速车保管费是每辆一次0.5元，一般车保管费是每次一辆0.3元.

　　（1）若设一般车停放的辆次数为x，总的保管费收入为y元，试写出y关于x的函数关系式；

　　（2）若估计前来停放的3500辆次自行车中，变速车的辆次不小于25%，但不大于40%，试求该保管站这个星期日收入保管费总数的范围.

　　解：（1）

　　　 （x是正整数，

　　（2）若变速车的辆次不小于25%，但不大于40%，

　　　则

　　　

　　　

　　　收入在1225元至1330元之间

　　总结：对于反映实际问题的函数关系，应使得实际问题有意义.这样，就要求联系实际，具体问题具体分析.

　　对于函数 ，当自变量 时，相应的函数y的值是 .60叫做这个函数当 时的函数值.

　　例3、求下列函数当 时的函数值：

　　（1） 　　（2）

　　（3） 　　（4）

　　解：1）当 时，

　　（2）当 时，

　　（3）当 时，

　　（4）当 时，

　　注：本例既锻炼了学生的计算能力，又创设了情境，让学生体会对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与之对应.以此加深对函数的理解.

　　（二）小结：

　　这节课，我们进一步地研究了有关函数的概念.在研究函数关系时首先要考虑自变量的取值范围.因此，要求大家能掌握解析式含有一个自变量的简单的整式、分式、二次根式的函数的自变量取值范围的求法，并能求出其相应的函数值.另外，对于反映实际问题的函数关系，要具体问题具体分析.

　　作业：习题13.2A组2、3、5

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