第五节 含绝对值的不等式

与二次函数有关的含有绝对值不等式的证明问题

二次函数是最简单的非线性函数之一，而且有着丰富的内容，它对近代数仍至现代数学影响深远，这部分内容为历年来高考数学考试的一项重点考查内容，经久不衰，以它为核心内容的高考试题，形式上也年年有变化，此类试题常常有绝对值，充分运用绝对值不等式及二次函数、二次方程、二次不等式的联系，往往采用直接法，利用绝对值不等式的性质进行适当放缩，常用数形结合，分类讨论等数学思想，以下举例说明。

　　1．设 ，当 时，总有 ，求证当 时， .

　　证明：由于 是二次函数， 在 上最大值只能是 ，或 ，故只要证明 ；当 时，有 ，由题意有 .

   由           得 

 .

.

 .

  当 时，

.

　　因此当 时， .

　　点评：从函数性质的角度分析，要证 时， ，只要证当 时， 的最大值 满足 . 而 又是二次函数，不论 、 、 怎么取值 在 上的最大值只能是 ，或 ，因而只要证明 ， ，这里需要特别指出的是要将 与 建立联系，将二次函数中的系数 用 、 、 表示：

 ，然后用含有绝对值不等式的性质，进行适当放缩。

　　2．已知 是实数，函数 ，当 时， ，

　　（1）证明： ；

　　（2）证明：当 时， ；

　　（3）设 ，当 时， 的最大值为2，求 . （1996年全国高考题）

　　证明：（1）依题设得 ，而   所以 .

　　　　　（2）证法：当 时， 在 上是增函数。

则 时，有 ，又 ,

 ， ，因此得  .

　　当 时， 在 上是减函数，则当 时， . 又 ,

 ， ，因此得 .

　　当 时， ,





　　综上可知，当 时，都有 .

　　（3）依题意 ，故 在 上是增函数，又 在 上的最大值为2，故 ； ， .

　　     。

　　当 时， ，即函数 在区间 的内点 上取得最小值为 ，所以， 是二次函数且它的图像是对称轴 是直线 ，由此得 ，即 .

       ，故 .

　　点评：本题运用了赋值法，函数的单调性、二次函数的最小值，含有绝对值不等式的性质等，问题（1）的设置意在降低难度，容易上手，抓住这2分，问题（3）的意义是证明问题（2）中的结论不能改进，从而是精确的，这样（2）、（3）合在一起构成问题的完整解答。本题的设计背景是：对于二次函数 和一次函数 ，给定条件“当 时， ”，则有结论“当 时， ”. 更一般地，对于多项式函数 和 ，给定件“当 时， ”，则有结论“当 时， ”.

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