第六节 逻辑联结词

 “或”、“且”、“非”命题的判定及构造

　　若 、 表示命题，把“ 或 ”、“ 且 ”、“非 ”形式的命题分别简称为“或”命题、“且”命题、“非”命题。要正确理解“或”、“且”、“非”的含义，只有掌握这三种复合命题的判定与构造。下面就此谈谈看法，仅供参考。

　　1．  或”、“且”、“非”命题的判定

　　含“或”、“且”、“非”的命题有的不是复合命题，如：

　　（1）实数的平方是正数或零。

　　（2）若 或 ，则 。

　　（3） 的解是 且 。

　　（4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

　　（5）非零实数的零次幂等于1。

　　容易看出，（1）、（3）、（4）、（5）是真命题，（2）是假命题。但若将（1）、（2）看成“或”命题，便会得出与真值表相矛盾的结论。因为“实数的平方是正数”，“实数的平方是零”，“若 则 ”者是假命题，“若 ，则 ”是真命题。同样地，将（3）、（4）看作是“且”命题，也得出与真值表相矛盾的结论。因为“ 的解是 ”“ 的解是 ” ，“一组对边平行的四边形是平行四边形”，“一级对边相等的四边形是平行四边形”都是假命题，而（5）中的“非”是否定“零实数”。所以以上5个命题都是简单命题。

　　不含“或”、“且”、“非”的命题有可能是复合命题。如：

　　（6）

　　（7）有两个解为45°的三角形是等腰直角三角形。

　　它们都不含“或”、“且”、“非”，但（6）等值于“ 或 ”，（7）等值于“有两个角为45°的三角形既是等腰三角形又是直角三角形”，所以它们分别是“或”命题、“且”命题。

　　因此判断一个命题是否为“或”命题、“且”命题、“非”命题，“非”命题既要看它是否含有“或”、“且”、“非”，又要看它是否隐含着“或”、“且”、“非”，还要看“或”、“且”、“非”是否为两个命题之间的联结词或某一命题的否定；既要与集合运算中的“并”、“交”、“补”联系起来，又要与“或”、“且”、“非”命题的真值表联系起来；既要看原命题，又要看它的等值命题。

　　2．“或”、“且”、“非”命题的构造

　　“或”、“且”命题的构造是在两个语句之间加上连词“或”、“且”。如 表示“ ”， 表示“ ”， 或 是“ 或 ”， 且 是“ 且 ”，但当两个命题的条件相同或结论相同时，构造“或”、“且”命题有的可以简化。如 表示“内错角相等，两直线平行”， 表示“同位角相等，两直线平行”， 或 为“内错角相等或同位角相等，则两直线平行”，省略了一个命题的结论。又如 表示“2是偶数”， 表示“2是质数”， 且 是“2既是偶数双是质数”，省略了一个命题条件。但要注意，有的简化过度会出现歧义，如 表示“9的平方根是3”（假）， 表示“9的平方根是 ”（假）， 或 不能写成“9的平方根是 ”（真），只能“9的平方根是3或是 ”（假）。有的还可进一步简化，如 为“5是15的约数”， 为“5是10的约数”， 且 为“5是15的约数且是10的约数”，“5是15与10的公约数”。总之，构造“或”、“且”命题时，简化要特别慎重，既要表达清楚，又要不改变复合的本义。“非”命题是对原命题的否定，在此构造“非”命题是在原命题前加“并非”。如 为“0.5是整数”，非 为“并非0.5是整数”，但我们常写出“并非 ”的等值命题，使表达更清晰。由于简单命题分为性质命题和关系命题。性质命题有六种标准形式：“所有 是 ”，“所有 不是 ”，“有些 是 ”，“有些 不是 ”，“某个 是 ”，“某个 不是 ”，这里 ， 是变项，它们的否定的等值命题分别是“有些 不是 ”，“有些 是 ”，“所有 不是 ”，“所有 是 ”，“某个 不是 ”，“某个 是 ”，如上面例子中非 等值于“0.5是非整数”。有些性质命题是非标准形式，如“9的平方根是 ”省略了量词“都”，这时写它的否定要作适当的调整，因此“9的平方根是 ”的否定是“9的平方根不都是 ”，不是“9的平方根不是 ”。“四边形的一组对平行”省略了量词“所有”，应调整为“所有四边形的一组对边平行”，它的否定是“有些四边形的一组对边不平行”，而不是“四边形的一组对边不平行”。

　　关系命题的一般形式是 或 ，其中 是关系项， ， 是关系者项，它的否定是， 或 ， 是 的否定，如“三角形两边和大于第三边”，“小明和小强是同学”的否定是“三角形两边和不大于第三边”，“小明和小强不是同学”。

　　“若 则 ”是一种常见的命题， 、 可以不是命题，它的否定是“ 且非 ”，不是“若 且非 ”，这一点可用真值表加以验证，在此略。

（出自《数学通讯》2002年  第11期）

新教材《逻辑联结词》一节中的两处改进意见

第一处

　　全日制普通高级中学第一期（上）P25第12行起有如下内容：

　　看下面的例子

　　10可以被2或5整除 　　　　　　　　　　　④

　　菱形的对角线互相垂直且平分 　　   　　 ⑤

　　0.5非整数　　　　　　　　　　　　　　　⑥

　　这里的“或”我们已经学过，像不等式 ，“且”我们也学过，像不等式 的解集是 ，即 。
　　“非”是否定的意思，“0.5非整数”是对命题“0.5是整数”进行否定而得出的新命题。
　　“或”“且”“非”这些词叫做逻辑联结词……。像④⑤⑥这样的命题，它们由简单例题与逻辑联结词构成，是复合命题。
　　笔者认为，以上内容对逻辑联结词的解释不妥，事实上，“或”“且”“非”只有在用来联结命题时才能称不为逻辑联结词。命题④⑤⑥中的“或”“且”“非”确是逻辑联结词，但不等式 的解集是 及不等式 的解集是 中的“或”与“且”并不是逻辑联结词，这两个命题不是复合命题，而是简单命题，证明如下：若命题 的解集是 含有逻辑联结词“或”，则这个命可改写为 或 形式，其中 ：不等式 的解集是 是假命题，与事实不符。
　　教材的意思是想说明已经学过的“或”“且”等与现在所言的“或”“且”有相同或相近的意义，但这种编排客观上造成了学生对“或”与“且”的错误理解，会使他们简单地认为含有“或”“且”“非”的命题一定是复合命题。这种影响是很大的，众多的教辅资料中【1】都有如下结论：
　　命题“ 的解集是 ”是“ 或 ”形式
　　命题“ 的解集是 ”是“ 且 ”形式。
　　显然，这种错误的根源在于教材。
　　笔者建议作如下修改：将P.25第16行起“这里的或…”到倒数第五行止的内容移到P.26第1行后，或将这部分内容删去。

第二处

　　教材P.29习题1.6中，有如下问题，称之为例1

　　例1 分别写出由下列各组命题构成的“ 或 ”，“ 且 ”，“非 ”形式的复合命题。

 是有理数， 是无理数

《教师教学用书》人民教育版社中学数学室编著在P.17给出的答案是：

 或 是有理数或无理数

 且 是有理数且是无理数。

　　解答无疑正确，但仿照这种解法，就会产生下面的错误：

　　例2  写出下列命题所组成的“ 且 ”的复合命题，并判定其真假。

 ：四边都相等的四边形是正方形。

 ：四角都相等的四边形是正方形。

　　解  且 ：四边形都相等且四角都相等的四边形为正方形。

　　这种方法构造成的“ 且 ”是真命题，但，显然： 假， 假，“ 且 ”应该为假。矛盾的原因是命题构造出错。

　　事实上，例1构造“ 且 ”时的逻辑依据是逻辑蕴含规则【2】：

 当 与 相同时的情形。

　　即：

　　而例2所依据的逻辑公式是蕴析规则，

 中 与 相同时的情形，

　　即：

　　因此，例2的“ 且 ”的构造应为：

　　“四边都相等或四角都相等的四边形是正方形”这显然是假命题。

　　由于教材中对逻辑公式不作要求，因此，从教师角度而言，无法向学生解释例2错解产生的原因，为了避免这种错误，笔者建议《教师教学用书》对例1的解答改为：

　　“ 或 ” 是有理数或 是无理数。

　　“ 且 ” 是有理数且 是无理数。

　　即不作逻辑运算，直接用“或”与“且”联结 和 ，这样，对于类似例2的问题，学生就会做如下回答：“ 且 ”：四边相等的四边形是正方形且四角相等的四边形是正方形这无疑是一种正确的答案。

　　顺便指出，教材中类似的问题还有：P.126，练习1.P.29，习题1.6（1）（2）（3）（4）等，建议《教师教学用书》作相应改动。

参考文献

　　1 高中数学课课练（一年级上学期）．南京：江苏教育出版社

　　2 郑思文，张恩华著．数学逻辑学概论．合肥：安徽教育出版社

（出自《数学通报》2002年 第4期）