第二节 平行线分线段成比例定理

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巧用线段成比例证线段相等

　　证线段相等的问题较常见，而证题的方法随着所学知识的不断积累也逐渐增多。如根据题设的不同，利用全等三角形的对应线段相等；等腰三角形、等腰梯形的两腰相等；平行四边形的对边相等，对角线互相平分；正方形、矩形、等腰梯形的对角线相等；关于直线成轴对称或关于点成中心对称的线段相等，以及线段的垂直平分线的性质定理、角平分线的性质定理等等。

　　现在学了线段成比例的有关定理，也常用来证两线段相等，其方法是利用条件中有（或添作）平行线或相似三角形，列出几组比例式进行比较而得出。现举数例说明于下。

　　例1 如图1，从直角 的两直角边AB、AC向形外作正方形ABFG及ACDE，CF、BD分别交AB、AC于P、Q。求证： 。

　　证明：∵ ，

　　∴ 。

　　即

　　∵ ，

　　∴

　　例2 已知AD、CF是 的两条高线，在AB上取一点P，使 ，再从P点引BC的平行线和AC交于Q点。求证： 。

　　证明：如图2，∴ 公共，

　　∴ ∽ 。

　　∴ 。

　　又∵ ，

　　∴ ∽ 。

　　∴ 。

　　已知 ，

　　∴

　　例3 如图3，已知一直线与 的三边AB、BC的延长线及CA分别交于D、E、F，且 。求证： 。

　　证明：过C作 ，交DE于G，则 ∽ ， ∽ 。

　　∴ ，

　　 。

　　已知 ，

　　∴ ，

　　∴

　　

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求线段年度的方法——应用比例线段

　　例  如图所示， ，若 ，求EF长.

　　分析：观察EF所处位置，根据 ，可以建立含EF的比例式，从比例线段入手解出EF.

　　

　　∴ ∽

　　∴ 　　（1）

　　

　　∴ ∽

　　∴ 　　（2）

　　（1）＋（2），得

　　∴

　　

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转换线段比的桥梁——平行线

　　线段成比例问题是初中几何中一类很棘手的证明问题，不少同学面对题目难以下手.事实上，有的问题，如果能仔细观察待证比例式和图形的结构特点，巧妙地添加适当的平行线作为转换比例的桥梁，往往能收到柳暗花明之效.现举例说明.

　　例 如图1，在 中，已知D为BC的中点，E为AC上一点，DE的延长线与BA的延长线交于点F.求证： .

　　分析：从图上看， 与 并没有直接的联系，但它们都分属同一直线上的线段比.因此，可考虑过某分点添加平行线来寻求过渡比.由条件和待证式，可有以下几种作平行线的思路：

　　（1）过A作 ，交 于G，如图2.

　　（2）过A作 ，交 于G，如图3.

　　（3）过B作 ，交CA的延长线于G，如图4.

　　（4）过B作 ，交FD的延长线于G，如图5.

　　（5）过C作 ，交FD的延长线于G，如图6.

　　（6）过C作 ，交BF的延长线于G，如图7.

　　现以图2为例证明如下.

　　证明：过A作 交DF于G，如图2.

　　∴

　　而 ，

　　∴ .