第七节 棱柱

典型例题（一）

例1 设有四个命题：

　　①底面是矩形的平行六面体是长方体；

　　②棱长都相等的直四棱柱是正方体；

　　③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；

　　④对角线相等的平行六面体是直平行六面体．

其中真命题的个数是（       ）

　　A．1           B．2          C．3             D．4

　　分析：命题①是假命题．因为底面是矩形的直平行六面体才是长方体．底面是矩形，侧棱不垂直于底面，这样的四棱柱仍是斜平行六面体；

　　命题②是假命题．底面是菱形，底面边长与棱长相等的直四棱柱不是正方体；

　　命题③是假命题．因为有两条侧棱垂直于义面一边不能推出侧棱与底面垂直．

　　命题④是真命题，如图所示，平行六面体 中所有对角线相等，对角面 是平行四边形，对角线 ，所以四边形 是矩形，即 ，同理四边形 是矩形，所以 ，由 知 底面 ，即该平行六面体是直平行六面体．

　　故选A．

　　说明：解这类选择题的关键在于理清各种棱柱之间的联系与区别，要紧扣底面形状及侧棱与底面的位置关系来解题．

　　下面我们列表来说明平行四边形与平行六面体的性质的“类比”，由此，我们可以发现立体几何与平面几何许多知识是可以进行类比的．见表

表

平行四边形	平行六面体
①对边平行且相等	①相对的侧面平行且全等
②对角线交于一点，且在这一点互相平分	②对角线交于一点且在这一点互相平分
③四条边的平方和等于两条对角线的平方和	③十二条棱的平方和等于四条对角线的平方和

　　例2 如图，正四棱柱 中，对角线 ， 与侧面 所成角为 ，求：（1） 与底面 所成角；（2）异面直线 与 所成角；（3）正四棱柱的全面积．

　　 分析：正四棱柱是一种特殊的长方体，它的两底面 、 是正方形，长方体中有比较多的线面垂直关系，而线面垂直关系往往是解决立体几何问题的关键条件．题中无论是已知线面成角，还是求线面成角，都要把它们转化为具体的角，落实线面成角，先要找线面垂直关系．异面直线 与 所成角通过 ，落实为具体的 ．正四棱柱各个面都是矩形，求面积只要用矩形面积公式．

　　解：（1）在正四棱柱 中，

　　∵ 面 ，

　　∴ 是 与侧面 所成角，即 ．

　　∵  ，∴  ， ，

　　∵  是正方形，∴ ，

　　 平面 ，∴  是 与底面 所成角，

　　在 △ 中， ， ，

　　∴ ，∴ ，

　　即 与底面 所成角为 ．

　　（2）∵ ，

　　∴ 是 与 所成角（或补角）．

　　∵ 平面 ，∴  ，

　　 △ 中， ， ，

　　∴ ，∴ ，

　　即异面直线 与 所成角为 ．

　　（3） △ 中， ， ．

　　∴   ，

　　∴  ．

　　说明：长方体是一种特殊的棱柱，充分感受其中丰富的线面垂直、线线垂直关系是灵活解题的关键，各种垂直关系是解决立体几何中证明和计算的重要条件，可以看下面例子．

　　例3 如图，已知长方体 中，棱长 ， ，求直线 与平面 的距离．

　　 分析：求直线到平面的距离，首先要找直线上的点到平面的垂线，而找平面的垂线的一个很有用的思路是，找平面内一条直线与某一平面垂直，这里我们不难看出，长方体中有 平面 ，这样，只要作 ，又有 ，得到 平面 ．

　　解：长方体 中，有 平面 ，过 作 于 ，又有 ，

　　∴  平 ，即 是 到平面 的距离．

　　在 △ 中，由已知可得， ， ，

　　∴  ，∴ ．

　　即 是 到平面 的距离为 ．

　　 说明：长方体中有棱与面的线面垂直关系，正方体除此之外，还有对角线与对角面的线面垂直关系，比如，求正方体 中， 与面 所成角．这里，要找 与 所成角，必须找 到平面 的垂线，因为 面 ，在对角面 内，过 作 于 ，则 ，所以 面 ，可以得到 为 与面 所成角，在对角面 中可计算 ．

　　例4 如图，已知直三棱柱 中， ， 为侧棱 上一点， ， ．（1）若 为 的中点， 为 上不同于 、 的任一点，求证： ；（2）若 ，求 与平面 所成角的大小．

　　分析： 点在 上变化， 为平面 内变化的一组相交直线（都过定点 ），要证明 与 垂直，必有 平面 ．求 与平面 所成角的关键是找 到面 的垂线，从而落实线面成角，直三棱柱中，侧棱 平面 给找点 到面 的垂线创造了方便的条件．

　　解：（1）∵ ，且 是 的中点，∴ ，

　　又∵  直三棱柱中 平面 ，∴ ，

　　∴  平面 ，∴ ．

　　在矩形 中， ， ，

　　∴ ， ， ，

　　∴ ，∴ ，即 ，

　　∴ 平面 ，∴ ．

　　（2）过 作 于 ，∵ 平面 ，∴ ，

　　∴ 平面 ，连接 ， 是 与平面 所成角．

　　在等腰△ 中， ， ，∴ ，

　　在等腰△ 中，由面积相等可得， ，

　　∴ ，又 ，

　　在 △ 中， ，

　　∴ ，

　　即 与平面 所成角为 ．

　　 说明：由于点 在 上变化，给思考增加了难度，但仔细思考，它又提供了解题的突破口，使得线线垂直成为了 与一组直线垂直．本题的证明还有一个可行的思路，虽然 在 上变化，但是由于 平面 ，所以 点在平面 上的射影是定点 ， 在平面 上射影为定直线 ，使用三垂线定理，可由 ，直接证明 ．三垂线定理是转化空间线线垂直为平面内线线垂直的一个有力工具，再看一个例子，正方体 中， 是底面 的中心， 是 上动点， 是 中点，求 与 所成角．我们取 中点 ，虽然 点变化，但 在面 上射影为定直线 ，在正方形 中，易证 ，所以， ，即 与 所成角为 ．

典型例题（二）

　　例5 如图，正三棱柱 的底面边长为4，侧棱长为 ，过 的截面与底面成 的二面角，分别就（1） ；（2） 计算截面的面积．

　　分析：要求出截面的面积，首先必须确定截面的形状，截面与底面成 的二面角，如果 较大，此时截面是三角形；但是如果 较小，此时截面与侧棱不交，而与上底面相交，截面为梯形．

　　解：截面与侧棱 所在直线交于 点，取 中点 ，连 、 ，

　　△ 是等边三角形，∴ ，

　　∵ 平面 ，∴ ．

　　∴ 为截面与底面所成二面角的平面角，

　　∴ ．

　　∵等边△ 边长为4，∴ ．

　　在 △ 中， ．

　　（1）当 时， 点在侧棱 上，截面为△ ，

　　在 △ 中， ，

　　 ∴ ．

　　（2）当 时， 点在 延长线上，截面为梯形 ，

　　∵ ， ∴ 是△ 的中位线，

　　∴ ．

　　说明：涉及多面体的截面问题，都要经过先确定截面形状，再解决问题的过程，本例通过改变侧棱长而改变了截面形状，我们也可以通过确定侧棱长，改变截面与底面成角而改变截面形状．

　　 例6 斜三棱柱 中，平面 底面 ， ， ， ， ，且 ．

　　（1）求 与平面 所成角；

　　（2）求平面 与平面 所成二面角的大小；

　　（3）求侧棱 到侧面 的距离．

　　分析：按照一般思路，首先转化条件中的面面垂直关系，由 ，取 的中点 ，连 ，则有 ，从而有 平面 ，在此基础上， 与底面所成角以及平面 与底面所成二面角都能方便地找到，同时 底面 也为寻找 点到面 的垂线创造了条件．

　　解：（1）取 的中点 ，连接 ，

　　∵ ，∴ ，∵平面 底面 ，

　　∴ 底面 ，∴ 为 与底面 所成角．

　　∵ 且 ，∴ ．

　　（2）取 中点 ，则 ，

　　∵ ，∴ ，∴ ．

　　连 ，∵ 底面 ，∴ 在平面 上射影为 ，

　　∴ ，∴ 为侧面 与底面 所成二面角的平面角．

　　在等腰 △ 中， ，∴ ．

　　在 △ 中， ，∴ ．

　　在 △ 中， ，

　　∴ ，即侧面 与底面 所成二面角的大小为 ．

　　（3）过 作 于 ，

　　∵ 底面 ，∴ ，∴ 平面 ，

　　在 △ 中， ， ，∴ ，

　　∴ ，即 到平面 的距离为 ．

　　说明：简单的多面体是研究空间线面关系的载体，而线面垂直关系又是各种关系中最重要的关系，立体几何中的证明与计算往往都与线面垂直发生联系，所以在几何体中发现并使用线面垂直关系往往是解题的关键，继续看下面例子．

　　例7 斜三棱柱 的底面△ 是直角三角形， ， ， 在底面上的射影 恰好是 的中点，侧棱与底面成 角，侧面 与侧面 所成角为 ，求斜棱柱的侧面积与体积．

　　 分析： 在底面 上射影 为 中点，提供了线面垂直 平面 ，另外又有 ，即 ，又可以得到 平面 ，利用这两个线面垂直关系，可以方便地找到条件中的线面角以及二面角的平面角．

　　解：∵ 在底面 上，射影 为 中点．

　　∴ 平面 ．

　　∴ 为侧棱 与底面 所成角，即 ，

　　∵ ，即 ，又 ，

　　∴ 平面 ，过 作 于 ，连接 ，则 ．

　　∴ 是侧面 与侧面 所成二面角的平面角，

　　∴ ，

　　在直角△ 中，∵ ， ，∴ ，

　　在直角△ 中，∵ ， ，

　　∴ ， ，

　　在直角△ 中， ， ，

　　∴ ， ．

　　∴侧面积为

　　　　　　　　 ．

　　体积为 ．

　　说明：本例中△ 是斜棱柱的一个截面，而且有侧棱与该截面垂直，这个截面称为斜棱柱的直截面，我们可以用这个截面把斜棱柱分成两部分，并且用这两部分拼凑在一个以该截面为底面的直棱柱，斜棱柱的侧面积等于该截面周长乘以侧棱长，体积为该截面面积乘以侧棱长．