第五节 两个平面平行的判定和性质

典型例题

例1：已知正方体 ．
　　求证：平面 平面 ．
证明：∵ 为正方体，
　　∴ ， 
　　又 平面 ，
　　故  平面 ．
　　同理  平面 ．
　　又  ，
　　∴ 平面 平面 ．
　　说明：上述证明是根据判定定理1实现的．本题也可根据判定定理2证明，只需连接 即可，此法还可以求出这两个平行平面的距离．

例2：如图，已知 ， ， ．
　　求证： ．
证明：过直线 作一平面 ，设 ， ．
　　∵ 　∴
　　又   ∴
　　在同一个平面 内过同一点 有两条直线 与直线 平行
　　∴ 与 重合，即 ．
　　说明：本题也可以用反证法进行证明．

例3：如果一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么它和另一个也相交．
　　已知：如图， ， ．求证： 与 相交．
　 证明：在 上取一点 ，过 和 作平面 ，由于 与α有公共点 ， 与 有公共点 ．
　　∴ 与 、 都相交．
　　设 ， ．
　　∵
　　∴
　　又 、 、 都在平面 内，且 和 交于 ．
　　∵ 与 相交．
　　所以 与 相交．

例4：已知平面 ， ， 为夹在 ， 间的异面线段， 、 分别为 、 的中点．
　　求证： ， ．
证明：连接 并延长交 于 ．
　　∵
　　∴  ， 确定平面 ，且 ， ．
　　∵ ，所以  ，
　　∴ ，
　　又  ， ，
　　∴ △ ≌△ ．
　　∴ ．
　　又 ，
　　∴ ， ．
　　故  ．
　　同理
　　说明：本题还有其它证法，要点是对异面直线的处理．

　　例5：如图，已知 为△ 所在平面外一点， 、 、 分别是△ 、△ 、△ 的重心．
　　求证：平面 平面 ．

　　分析：本题的思路在于如何找到三点 、 、 或它们的三边与平面 的关系．根据重心的性质易知应该连接 、 、 ，再根据相似比可知△ 的三边分别与△ 的三边平行，进而可得结论．

例6：如图，已知矩形 的四个顶点在平面上的射影分别为 、 、 、 ，且 、 、 、 互不重合，也无三点共线．
　　求证：四边形 是平行四边形．

证明：∵ ，
　　∴
　　不妨设 和 确定平面 ．
　　同理 和 确定平面 ．
　　又 ，且
　　∴
　　同理
　　又
　　∴
　　又 ，
　　∴ ．
　　同理 ．
　　∴四边形 是平行四边形．

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