第五节 含绝对值的不等式

　　例1 解不等式

　　分析 解含有绝对值的不等式，通常是利用绝对值概念 ，将不等式中的绝对符号去掉，转化成与之同解的不含绝对值的不等式（组），再去求解．去绝对值符号的关键是找零点（使绝对值等于零的那个数所对应的点），将数轴分成若干段，然后从左向右逐段讨论．

　　解 令 ，∴ ，令 ，∴ ，如图所示．

　　（1）当 时原不等式化为

　　∴ 与条件矛盾，无解．

　　（2）当 时，原不等式化为 ．

　　∴ ，故 ．

　　（3）当 时，原不等式化为 ．
　　∴ ，故 ．

　　综上，原不等式的解为 ．

　　注意 找零点去绝对值符号最好画数轴，零点分段，然后从左向右逐段讨论，这样做条理分明、不重不漏．

　　例2 求使不等式 有解的 的取值范围．

　　分析 此题若用讨论法，可以求解，但过程较繁；用绝对值的几何意义去求解十分简便．

　　解法一 将数轴分为 三个区间

　　当 时，原不等式变为 有解的条件为 ，即 ；

　　当 时，得 ，即 ；

　　当 时，得 ，即 ，有解的条件为 ∴ ．

　　以上三种情况中任一个均可满足题目要求，故求它们的并集，即仍为 ．

　　

　　解法二 设数 ，3，4在数轴上对应的点分别为P，A，B，如图，由绝对值的几何定义，原不等式 的意义是P到A、B的距离之和小于 ．

　　因为 ，故数轴上任一点到A、B距离之和大于（等于1），即 ，故当 时， 有解．

　　例3 已知 ，求证 ．

　　分析 根据条件凑 ．

　　证明 ．

　　说明 这是为学习极限证明作的准备，要习惯用凑的方法．

　　例4 求证

　　分析 使用分析法

　　证明 ∵ ，∴只需证明 ，两边同除 ，即只需证明 ，即

　　当 时， ；当 时， ，原不等式显然成立．∴原不等式成立．

　　说明在绝对值不等式的证明，常用分析法．本例也可以一开始就用定理：

　　（1）如果 ，则 ，原不等式显然成立．

　　（2）如果 ，则 ，利用不等式的传递性知 ， ，∴原不等式也成立．