第六节 逻辑联结词

典型例题

　　例1下列语句中，哪些是命题？哪些不是命题？

　　（1）若 ，则 ，且 ；

　　（2）若 ，则 ，且 ；

　　（3）任何集合都有一个子集；

　　（4）若 ，或 ，则 ；

　　（5） ．

　　解：（1）由 ，只能推出 ，或 ． ，且 不一定成立．所以此语句是假的，则它是命题．

　　（2）由 ，则得 与 必同时为0（若 、 中至少有一个不为0，那么 ），即 且 ．此语句为真，则它是命题．

　　（3）因为空集是任何集合的子集，所以任何一个集合必有一个子集 ．此语句为真，则是命题．

　　（4）由 ，或 都能推出 ，所以此语句为真，则是命题．

　　（5）因为 与0的关系随 取值的变化而变化，所以不能判断 的真假，则不是命题．

　　例2 分别指出由下列命题构成的“ 或 ”“ 且 ”“非 ”形式复命题的真假：

　　（1） ： ； ：

　　（2） ：3是163的约数； ：－3是方程 的解。

　　（3） ：四边形两组对边分别平行； ：四边形两组对边分别相等。

　　（4） ： ； ：四边形两组对边分别相等。

　　解 （1）因为 真 假，所以，“ 或 ”为真，“ 且 ”为假，“非 ”为假。

　　（2）因 假 真，所以，“ 或 ”为真，“ 且 ”为假，“非 ”为真。

　　（3）因为 假 假，所以，“ 或 ”为假，“ 且 ”为假，“非 ”为真。

　　（4）因为 真 真，所以，“ 或 ”为真，“ 且 ”为真，“非 ”为假。

　　例3 填空题：分别用“ 或 ”“ 且 ”“非 ”填空，并指出命题的真假。

　　（1）命题“1997年7月1日是中国共产党的生日，又是香港回归祖国的日子”为     形式，此命题为     。

　　（2）命题“方程 没有实数根”为        形式，此命题为         。

　　（3）命题“矩形有外接圆或有内切圆”为        形式，此命题为          。

　　（4）命题“ ”为        形式，此命题为          。

　　解：（1）“ 或 ”的形式，其中 ：1997年7月1日是中国共产党的生日； ：1997年7月1日是香港回归祖国的日子。因为 真 真，所以“ 或 ”是真命题。

　　（2）“非 ”的形式，其中 ： 有实数根。因为 真，所以“非 ”是假命题。

　　（3）“ 或 ”的形式，其中 ：矩形有外接圆； ：矩形有内切圆。因为 真 假（为什么），所以“ 或 ”是真命题。

　　（4）“非 ”的形式，其中 ： 。因为 真，所以“非 ”是假命题。

　　例4 分别指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题，并判断它们的真假．

　　（1）三个角相等的三角形不是直角三角形；

　　（2） 的元素既是 的元素又是 的元素；

　　（3）若 是 的元素或 是 的元素，则 是 的元素；

　　（4）两条对角线垂直的平行四边形是菱形或正方形；

　　（5） 不是方程 的解．

　　解：（1）这个命题是“非 ”的形式，其中 ：三个角相等的三角形是直角三角形．

　　因为 是假命题，所以这个命题是真命题．

　　（2）这个命题是“ 且 ”的形式，其中 ： 的元素是 的元素， ： 的元素是 的元素．

　　因为 、 都是真命题，所以这个命题是真命题．

　　（3）这个命题是“ 或 ”的形式，其中 ：若 是 的元素，则 是 的元素， ：若 是 的元素，则 是 的元素．

　　因为 、 都是真命题，所以这个命题是真命题．

　　（4）这个命题是“ 或 ”的形式，其中

 ：两条对角线垂直的平行四边形是菱形，

 ：两条对角线垂直的平行四边形是正方形．

　　因为 是真命题， 是假命题，所以这个命题是真命题．

　　（5）这个命题是“非 ”的形式，其中

 ： 是方程 的解．

　　因为 是真命题，所以这个命题是假命题．

　　例5　分别指出由下列各组命题构成的“ 或 ”、“ 且 ”、“非 ”形式的复合命题的真假．

　　（1） ： 在集合 中， ： 在集合 中．

　　（2） ：方程 有两正根， ：方程 有两实数根．

　　（3） ：集合 是集合 的子集，

 ：集合 是集合 的子集．

　　解：（1）因为 为真，而 ， 为假，所以“ 或 ”为真，“ 且 ”为假，非 为假．

　　（2）因为方程 中两根之积为负，所以 为假， 为真，

　　所以“ 或 ”为真，“ 且 ”为假，“非 ”为真．

　　（3）因为 为真，而 ，所以， ，即 为假．

　　注：（1）当 、 均为真命题时，“ 且 ”才为真命题．（2）只要 或 中有一个为真命题，“ 或 ”必为真命题．即“ 或 ”为真命题的要求“不高”．

　　例6  选择题

　　（1） 和 都是简单命题，那么下列结论正确的是（      ）．

　　A． 真，则“ 且 ”一定真          B． 假，则“ 且 ”不一定假

　　C．“ 且 ”真 一定真                D．“ 且 ”假，一定假

　　（2）命题“ 且 ”与命题“ 或 ”都是假命题，那么下列结论正确的是（     ）．

　　A．命题“非 ”与命题“非 ”其值不同；

　　B．命题“非 ”与命题“非 ”至少有一个为假命题；

　　C．命题“非 且非 ”是真命题；

　　D．命题 与命题“非 ”真值相同．

　　（3）若命题“ 或 ”与命题“ 且 ”都是真命题，那么下列四个结论中正确的个数是（     ）．

　　①命题 一定是真命题；         ②命题 不一定是真命题；

　　③命题 不一定是真命题；       ④命题 与 的真值相同．

　　A．1        B．2        C．3        D．4

　　分析  由真值表知：

　　（1）“非 ”形式复合命题的真假与 的真假相反；

　　（2）“ 或 ”形式复合命题当 与 同为假时为假，其他情况均为真；

　　（3）“ 且 ”形式复合命题当 与 同为真时为真，其他情况均为假．

　　解：（1）选（C）；（2）选（C）；（3）只有①、④正确．选（B）．

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