第五节 菱形

典型例题1

　　例1  选择题

　　（1）菱形面积为 ，一个内角是 ，则这个菱形的周长为（　）．

　　（A） ；　（B） ；　（C） ；　（D）

　　（2）如图，等边△ 与菱形 有一个公共顶点 ，且边长相等；△ 的顶点 、 分别在菱形的边 、 上，则 等于（　）．

　　 （A） 　　　（B）

　　（C） 　　　（D）

　　解  （1）因为菱形的一个内角是 ，所以它的高是边长的一半．设边长为 ，则 ，可得 ，故菱形的周长为 ．∴应选（D）．

　　（2）设 度

　　∵ ，∴ ，∴

　　同理：

　　∵ ，∴

　　即

　　∴ ，∴

　　故应选（C）．

　　例2  如图2，在 △ 中， ， 为 的中点，四边形 是平行四边形．

　　 求证： 与 互相垂直平分

　　分析  要证明 与 互相垂直平分，只要证明四边形 是菱形．所以要连结

　　证明  ∵在 △ 中， 为 的中点

　　∴

　　∵四边形 是平行四边形

　　∴ ，

　　∴ ，

　　∴四边形 是平行四边形

　　∵ 　∴ 是菱形　∴ 与 互相垂直平分．

　　例3  如图3，已知四边形 和四边形 都是矩形，且 ．

　　求证： 垂直平分 ．

　　 分析  由已知条件可证明四边形 是菱形，再根据菱形的对角线平分对角以及等腰三角形的“三线合一”可证明 垂直平分 ．

　　证明：∵四边形 、 都是矩形

　　∴ ， ， ，

　　∴四边形 是平行四边形

　　∵ ，∴

　　在△ 和△ 中

　　

　　∴△ ≌△    ∴ ，

　　∵四边形 是平行四边形

　　∴四边形 是菱形

　　∴ 平分 　∴ 平分 　∵

　　∴ 垂直平分 ．

　　

典型例题2

　　例4   如图，已知 △ 中， ， ，垂足为 ， 平分 交 于 ，交 于 ，过点 作 ，垂足为 ，连结 ．

　　求证：四边形 是菱形．

　　分析  要证四边形 是菱形，由已知条件 平分 ， ， ，可证 所以，只须证四边形 是平行四边形，证明平行四边形的方法很多，这里给出此题三种证法．

　　证法一  ∵ 平分 ， ，

　　 ∴

　　∵ ，∴

　　∴ ，

　　∵ ，∴

　　∵

　　∴   ∴   ∴

　　∵ ，   ∴   ∴四边形 是平行四边形

　　∵    ∴四边形 是菱形．

　　证法二  ∵ 平分   ∴

　　∵   ∴

　　在△ 和△ 中 

　　∵ △ ≌△   ∴ ，

　　在△ 和△ 中  

　　∴△ ≌△   ∴

　　∵   ∴

　　∴ ，

　　∵   ∴

　　∵   ∴   ∴

　　∴   ∴四边形 是菱形．

　　证法三 如图，连结 交 于

　　 ∵ 平分    ∴

　　∵ ，

　　∵

　　在△ 和△ 中 

　　∴△ ≌△    ∴

　　∵ 平分    ∴ 垂直平分

　　∵ ，    ∴

　　∴

　　∵   ∴    ∴   ∴

　　∵   ∴ 平分

　　∴ 与 互相垂直平分     ∴四边形 是菱形．

　　 例5  如图6， 中， ， 、 在直线 上，且 ．

　　求证： ．

　　分析  要证 ，关键是要证明四边形 是菱形，然后利用菱形的性质证明结论．

　　证明  ∵四边形 是平行四边形

　　∴ ， ， ，∴

　　∵ ，∴

　　在△ 和△ 中 

　　∴△ ≌△   ∴

　　∵    ∴

　　同理：   ∴

　　∵

　　∴四边形 是平行四边形

　　∵    ∴四边形 是菱形

　　∴ ．