第七节 棱柱

教学设计示例一

9.7  棱 柱 第一课时

教学目标：理解棱柱的概念、分类；掌握棱柱的性质．

教具准备：投影胶片、多媒体课件．

教学过程：

［设置情境］

　　教师拿几个模型（如图1）一一呈现出来让同学们观察，并讨论哪些是棱柱．

　　教师指出①③⑤为棱柱，然后问，棱柱有什么样的特征？应当怎么定义呢？

［探索研究］

　　1．棱柱的概念

　　（1）概念（出示模型或投影仪）

　　通过举实际生活中的例子，介绍概念：棱柱的定义、底面、侧面、棱、侧棱、顶点、对角线、高．

　　（2）棱柱的分类（见图2）

　　从侧棱与底面的关系来分可分为：斜棱柱、直棱柱、正棱柱．

　　从底面多边形的边数来分可分为：三棱柱、四棱柱、五棱柱等．

　　2．棱柱的性质（见图3）

　　（1）侧棱都相等，侧面是平行四边形．

　　（2）两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形．

　　（3）过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形．

　　3．例题分析

　　例1  下列命题中正确的是（     ）

　　A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱

　　B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱

　　C．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱

　　D．有两个相邻侧面垂直于底面的棱柱是直棱柱

　　解：如图4，面 面 ，但图中的几何体中每相邻两个四边形的公共边并不都互相平行，故不是棱柱． 、 都不正确．当两个相邻侧面都垂直于底面时，它们的公共侧棱垂直于底面，因此这样的棱柱是直棱柱，故选D．

　　例2  下列命题中的假命题是（      ）

　　A．直棱柱的侧棱就是直棱柱的高

　　B．有一个侧面是矩形的棱柱是直棱柱

　　C．直棱柱的侧面是矩形

　　D．有一条侧棱垂直于底面的棱柱是直棱往

　　解：A．直棱往的侧棱垂直于底面，是直棱柱的高，命题为真．

　　　　B．有一个侧面是矩形，并不能保证侧棱垂直于底面，命题为假．

　　　　C．直棱柱的侧面是矩形，命题为真．

　　　　D．因棱柱的侧棱相互平行，因此，有一条侧棱垂直于底面，则所有侧棱都垂直于底面，构成直棱柱，命题为真．

　　故选B．

　　例3  棱柱成为直棱柱的一个充要条件是（      ）

　　A．棱柱有一条侧棱与底面的两边垂直

　　B．棱柱有一个侧面与底面的一条边垂直

　　C．棱柱有一个侧面是矩形，且它与底面垂直

　　D．棱柱的侧面与底面都是矩形

　　解：A．棱柱有一条侧棱与底面的两边垂直推不出棱柱是直棱柱．（棱柱的一条侧棱与底面的两边垂直，没有明确这两条边是否相交，保证不了测棱与底面垂直．）

　　B．棱柱有一个侧面与底面的一条边垂直推不出棱柱是直棱柱．（棱柱有一个侧面与底面的一条边垂直，即底面上一条直线与侧面垂直，侧面与底面垂直，保证不了侧棱与底面垂直．）

　　C．棱柱有一个侧面是矩形，且它与底面垂直．（侧面与底面垂直，侧面又是矩形，根据两平面垂直的性质定理，侧棱垂直于底面．）

　　D．棱柱是直棱柱推不出棱柱的侧面与底面都是矩形．（棱柱是直棱柱，底面不一定是矩形．）

　　故选C．

［演练反馈］

　　1．一个棱柱是正四棱柱的条件是（      ）

　　A．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面

　　B．每个侧面是全等的矩形

　　C．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直

　　D．底面是正方形，有两个侧面是矩形

　　2．棱柱的侧面是__________形，直棱柱的侧面是__________形，正棱柱的侧面是________形．

　　3．如图5，直四棱柱 中，各棱长均为 ， ，求对角线 与 的长．

［参考答案］

　　1．C　　2．平行四边形；矩；全等的矩

　　3． ，

［总结提炼］

［学生讨论，教师补充完善．］

　　1．什么叫棱柱？

　　2．棱柱的分类．

　　3．棱柱的性质．

（四）布置作业

　　1．课本P45习题  9.7   1．

　　2．课本P45习题  9.7   2．

　　3．课本P46习题  9.7   3．

［参考答案］

1．略．　　2． ， 　　3． ，

（五）板书设计

1．棱柱的概念（图） 2．棱柱的性质

例1 例2

例3

教学设计示例二

9.7 棱柱 第二课时

教学目标：

　　1．理解平行六面体、直平行六面体、长方体、正方体的概念．

　　2．掌握长方体的对角线长与棱长的关系公式．

　　3．能利用棱柱的概念及性质理解题意，解决问题．

教学过程：

［设置情境］

　　我们知道长方形的对角线长的平方等于长和宽的平方和，那么长方体的对角线长与其长、宽、高之间有类似的关系吗？

［探索研究］

　　1．特殊的四棱柱

　　平行六面体—底面是平行四边形的四棱柱．（如图1（1））

　　直平行六面体—侧棱与底面垂直的平行六面体．（如图1（2））

　　长方体—底面是矩形的直平行六面体．（如图1（3））

　　正方体—棱长都相等的长方体．（如图1（4））

　　由以上定义不难得到下面的关系：

　　｛正方体｝ ｛长方体｝ ｛直平行六面体｝ ｛平行六面体｝

　　2．给出公式

　　 ，其中 是棱柱的底面积， 是棱柱的高．

　　3．定理

　　定理  长方体对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和．

　　已知：长方体 中， 是一条对角线（如图2）

　　求证： ．

　　证明：连结 ．∵ ，∴ ，

　　又∵ ，∴ ．

　　4．例题分析

　　例1  若长方体的三个面的面积分别为 、 和 ，求长方体的对角线长 ．

　　解：设长方体的长、宽、高分别为 、 、 ，对角线长为 ，则

　　

　　∴ ．

　　例2  如图1，在正方体 中， 、 分别为 、 的中点．

　　（1）求证： ；

　　（2）求 与 所成的角；

　　（3）证明：平面 平面 ．

　　解：（1）由 是正方体，知 平面 ．又 平面 ，故 ．

　　（2）取 中点 ，连结 、 、 ．由 是 中点，知 ，又 ，得 ，故 是平行四边形，所以 ．

　　设 、 交于 ，则 是 与 所成的角．由 是 中点，可得

△ ≌ △ ．

　　∴ ．故 ，即 与 所成的角为直角．

　　（3） ， ，又 ，故 平面 ．

　　又 平面 ，故平面 平面 ．

　　例3  平行六面体 的棱长都相等，且 ．

　　（1）求证：平面 平面 ；

　　（2）若 ，求 到平面 的距离．

　　解：（如图1）作 平面 于 ．由 可知 在 的角平分线上，又因为 是菱形，所以 在 上，且根据三垂线定理，由 得 ，所以 平面 ，平面 平面 ．

　　（2）作 于 ，连 ，由三垂线定理得 ，在 △ 中， ， ，有 ． △ 中， ，有 ．于是 ．

　　即得 到平面 的距离为 ．

［演练反馈］

　　1．四条对角线不相等且交于一点的四棱柱是（      ）

　　A．直四棱柱　　B．斜平行六面体　　C．长方体　　D．正四棱体

　　2．正方体的对角线长为 ，则它的面的对角线长为_____________．

　　3．已知正四棱柱 的底面边长为2，侧棱长为 ．

　　（1）求二面角 的大小；

　　（2）求点 到平面 的距离．

［参考答案］

　　1．B　　2． 　　3．（1）   （2）

［总结提炼］

　　掌握特殊四棱柱的概念，弄清它们之间的包含关系，理解长方体的对角线长与棱长的关系，记住柱体的体积公式．

（四）布置作业

　　1．课本P46习题9.7  4．　　2．课本P46习题9.7  5．

　　3．课本P46习题9.7  7．　　4．课本P46习题9.7  8．

［参考答案］

　　1．提示：（1）利用平行四边形的对角线互相平分来证明．（2）利用（1）的结论．

　　2．对角线长为 ．　　3． ．

4．略．

（五）板书设计

1．特殊的四棱柱（投影图形） 2．定理

例1 例2

例3 总结

教学设计示例三

9.7 棱柱 第三课时

教学目标：

　　1．掌握水平放置的平面图形的直观图画法．

　　2．掌握直棱柱的直观图画法．

教具准备：三角板．

教学过程：

［设置情境］

　　把平面图形画在纸上或黑板上，那很简单．要把立体图形画在纸上或黑板上，实际上是把本来不完全在同一个平面内的点的集合，用同一个平面内的点来表示．这时画在纸上或黑板上的图形，已经不是普通地平面图形，而是立体图形的直观图．

教师问：

　　（1）右图看起来像什么？

　　（2）正方体的各个面都是正方形，在此图形中各个面都画成正方形了吗？

　　（3）立体图形的直观图要有立体感，即把不在同一平面内的点集在同一平面内表现出来，为此，它往往与立体图形的真实形状不相同，那么怎么画立体图形的直观图呢？

［探索研究］

　　1．水平放置的平面图形的直观图的斜二侧画法

　　（1）在已知图形中取互相垂直的 轴和 轴，两轴交于点 ．画直观图时，把它们画成对应的 轴和 轴，两轴交于点 ，使 （或 ）它们确定的平面表示水平平面．

　　（2）已知图形中平行于 轴或 轴的线段，在直观图中分别画成平行于 轴或 轴的线段．

　　（3）已知图形中平行于 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于 轴的线段，长度为原来的一半．

　　例1  画水平放置的正六边形的直观图．（图1（1））

　　作法：（1）在已知正六边形 中，取对角线 所在的直线为 轴，取对称轴 为 轴，两轴交于点 ，画对应的 轴、 轴，取 ．

　　（2）以点 为中点，在 轴上取 ，在 轴上取 ，以点 为中点画 平行于 轴，且 ；再以 为中点画 平行于 轴，且 ．

　　（3）连结 、 、 、 ，所得的六边形 就是正六边形 的直观图．（见图1（3））

　　2．画直棱柱的直观图

　　例2  画正六棱柱的直观图．

　　（画法：见课本第45页．）

［演练反馈］

　　1．画水平放置的正角形的直观图．

　　2．画正五棱柱的直观图．

［参考答案］

　　1．如图2：

　　作法：（1）在已知正三角形 中，取 所在的直线为 轴，取线段 的中垂线 所在的直线为 轴．画对应的 轴， 轴，使 ．

　　（2）以 为中点，在 轴上取 ，在 轴上 ．

　　（3）连结 、 ，然后擦去辅助线．（见图2（3））

　　2．如图3：

　　作法：1．画轴．画 、 、 轴，使 （或 ）， ．

　　　　　2．画底面．按 轴、 轴画正五边形的直观图 ．

　

　　3．画侧棱．过点 、 、 、 、 各点分别作 轴的平行线，并在这些平行线上分别截取 、 、 、 、 都等于侧棱长．

　　4．成图．顺次连结 、 、 、 、 ，加以整理，去掉辅助线改被遮挡部分为虚线．（见图3（2））

［总结提炼］

　　画水平放置的平面图形的直观图是本节内容的重点．在原平面图形中取 坐标系要本着简便的原则，但这种简便是相对的．事实上，无论 坐标系怎么取（其实可任意取）都能画出与它对应的 坐标系，并能找到原坐标系下图形的各顶点在新坐标系 下的对应点的位置．

（四）布置作业

　　（1）课本P45练习  1．

　　（2）课本P45练习  2．

　　（3）课本P46练习  9.7  6．

［参考答案］

略．

（五）板书设计

1．平面图形的直观图 （投影）

例1 2直棱柱的直观图

例2

教学设计示例四

9.7 棱柱 第四课时

教学目标：

　　巩固复习棱柱的有关概念和性质．

教学过程：

［复习回顾］

　　1．棱柱的有关概念．（底面、顶点、棱、高、侧棱、对角面等）

　　2．特殊的四棱柱的有关概念．

　　3．长方体的对角线和棱长的关系，柱体的体积公式．

［探索研究］

　　例1  如图1，直棱柱 中， ， ， ， 是 的中点．求证： ．

　　证明：∵

　　又 为直棱柱

　　∴ 面

　　∴

　　∴ 面

　　欲证 ，根据三垂线定理，只须证

　　设 ， ， ， ，因 ，所以 ．于是 ，即得 ．

　　例2  若斜三棱柱 的底面是边长为 的正三角形，侧棱长为1， ．求：

　　（1）斜三棱柱 的侧面积；

　　（2）侧棱 到平面 的距离．

　　解：（1）如图2，过点 作 ，交 于 ，连 ．因 ， ， 为公共边，∴△ ≌△ ，故有 ， ，所以 平面 ， ．又∵ ．所以 平面 ， ，故

　　

　　　　

　　　　

　　因为 ， ， ，所以，有

．

　　（2）过 作 ， 交 于 ，则 为 中点．因 ，由（1）知 ，故 平面 ，即 为 到平面 的距离．

．

　　老师点评：△ 实际上就是斜三棱柱 的直截面．

　　例3  如图1，正三棱柱 的底面边长为 ，在侧棱 上截取 ，在侧棱 上截取 ，过 作截面．

　　（1）求截面面积；

　　（2）求证：截面 侧面 ．

　　解：（1）因为侧面是矩形所以易求得 ， ，取 的中点 ，连结 ，则 ．

　　∴

　　所以 ．

　　（2）证法一：取 的中点 ，连结 ，则 且 ，又 ， ，所以四边形 是平行四边形，得 ．

　　∵ ，∴ （∵ ），又 ，∴ 面 ．

　　∴ 面 ，而 面

　　∴截面 侧面 ．

　　证法二：取 中点 ，连结 、 易证面 面 ，而 面

　　∴ ，又

　　∴ 面

　　∴面 侧面

　　证法三：（计算二面角 的平面角为 ）

　　连结 ，∵ ， 为 中点，所以 ，所以 是二面角 的平面角，易求得 ， ，∵ ，∴

　　∴面 面 ．

　　教师点评：以棱柱为载体考查线、面之间的位置关系的问题是常见的一种题型．解决这类问题时，必须应用棱柱的有关性质，特别是直棱柱中蕴含着的线、面间的平行和垂直关系．

［演练反馈］

　　底面是菱形的直菱柱，它的对角线的长分别为9和15，高为5，则棱柱的侧面积为________．

［参考答案］

　　160．

［总结提炼］

　　棱柱的定义及性质为我们提供了丰富的已知条件，在解题时要注意灵活运用．

（四）布置作业

　　1．课本Ｐ46习题9.7　9．

　　2．课本Ｐ46习题9.7　10．

　　3．如图1，在正三棱柱 中， ．

　　（1）求证： ；

　　（2）求二面角 的平面角的正切值．

　　4．已知：平行六面体 的底面 是菱形，且 ．

　　（1）证明： ；

　　（2）设 ， ．记面 为 ，面 为 ，求二面角 的平面角的余弦值．

［参考答案］

　　1．

　　2．

　　3．略．

　　4．（1）略．　（2）

（五）板书设计

 

1．复习 2．例题 例1

例2 例3

练习