第五节两个平面平行的判定和性质

作者：未知来源：中央电教馆时间：2006/4/8 18:03:15阅读：nyq

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教学设计示例一

9.5 两个平面平行的判定和性质第一课时

教学目标：
　　1．掌握两平面的空间关系种类，会画两个平行平面．
　　2．掌握空间两个平面平行的判定定理与性质定理，并能简单应用．
　　3．理解两平行平面间的距离的概念．
教具准备：三角板．
教学过程：
　［设置情境］
　　教室里相对的两个墙面有什么特点？这种位置关系的平面怎么命名？如何证明两个平面具有这样的位置关系呢？
　［探索研究］
　　1．两个平面的位置关系
　　我们一起观察教室的墙壁、地面、屋顶，由观察结果归纳出两个平面的两种不同的位置关系．
　　（1）两个平面平行
　　如果两个平面没有公共点，我们就说这两个平面互相平行．
　　（2）两个平面相交
　　如果两个平面有公共点，它们就相交于一条过该公共点的直线，就称这两个平面相交．
　　（3）两个平面的位置关系只有两种
　　①两个平面平行——没有公共点．
　　②两个平面相交——有一条公共直线．
　　（4）两个平面平行的画法
　　画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行（图1，而不应画成图2那样．平面和平行，记作．

　　2．两个平面平行的判定
　　两个平面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
　　已知：在平面内，有两条直线、相交且和平面平行．
　　求证：．
　　证明：用反证法证明．
　　假设．
　　∵ ，，
　　∴ ．
　　同理．
　　∴ ．
　　这与题设与是相交直线矛盾．
　　∴ ．
　　以上是判定两个平面平行的一个定理，可让同学们想象一下是否还有其他的判定方法．
　　3．两个平面平行的性质
　　（1）一个结论
　　根据两个平面平行及直线和平面平行的定义，容易得出下面的结论．

，．

　　这就是说，如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面．
　　（2）两个平面平行的性质定理
　　教师提问：如果两个平面平行，并且它们都和第三个平面相交，交线有何关系？
　　很容易得出结论：交线平行．这可以由两个平面平行及平行线定义得出．
　　两个平面平行的性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．
　　即设，，，则．图1．
　　4．两个平行平面的距离
　　（1）两个平行平面的公垂线及公垂线段
　　和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平行平面的公垂线，它夹在这两个平行平面间的部分，叫做这两个平行平面的公垂线段．

　　（2）两个平行平面的距离
　　如图2，，如果、都是它们的公垂线段，那么．根据两个平面平行的性质定理，有，所以四边形是平行四边形，所以．
　　因此，两个平行平面的公垂线段都相等．我们把公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离．
　　5．例题分析
　　例1 求证：垂直于同一条直线的两个平面平行．
　　已知：，（图3）．
　　求证：．
　　分析：可设法证明内有两条相交直线都平行于．为此，要根据已知条件找出这样的直线．
　　证明：设经过直线的两个平面分别与平面交于直线和．
　　∵ ，
　　∴ ，，
　　∵ ，，
　　∴ ．
　　于是．
　　同理可证．
　　又，
　　∴ ．
　　这个例题也可以当成两个平面平行的判定定理之二．
　　例2 求证：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．
　　此性质的已知、求证、证明可以请一名学生上台板演，其他的学生在座位上自己画图完成证明过程．教师在黑板上画出图形，如图2，而后点评学生的证法．
　　［演练反馈］
　　1．课本P32练习1，2．
　　2．与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是（      ）
　　A．都平行                 B．都相交
　　C．在这两个平面内         D．至少与其中一个平面平行
　　3．如果两个平面分别经过两条平行线中的一条，那么这两个平面（      ）
　　A．平行       B．相交　　C．重合                   D．平行或相交
　　4．已知平面与不重合，则的一个充分条件是（      ）
　　A．，且
　　B．，且，
　　C．，且
　　D．，且
　　5．下列命题：①平行于同一直线的两个平面平行．②垂直于同一直线的两个平面平行．③平行于同一平面的两个平面平行．④与一直线成等角的两个平面平行，其中正确的命题有（      ）
　　A．1个        B．2个          C．3个           D．4个
　　6．若，，则与的位置关系是_____________________．
　　7．如图1，已知是两条异面直线，平面过且与平行，平面过且与平行．
　　求证：．

　　8．如图2，在正方体中，分别是棱的中点．
　　求证：平面平面．

［参考答案］

　　1．略　　2．D 3．D 4．D 5．B　6．平行或异面
　　7．提示：任取点，令点与直线确定的平面交平面于直线，证明．
　　8．提示：连，证明，同理再证．
［总结提炼］
［学生回忆，教师补充完善．］
　　1．两个平面的空间位置关系种类．
　　2．两个平行平面的画法．
　　3．平行平面的判定定理．
　　4．平行平面的性质．
　　5．两平行平面的公垂线、公垂线段、距离．
布置作业：课本P32习题9.5 1，2，3，4，5．
板书设计：

1．两个平面的位置关系　　3．两个平面平行的性质　例1

2．两个平面平行的判定　　　（1）第一个性质

　　定理　　　　　　　　　（2）定理　　　　例2

4．两个平行平面的距离

教学设计示例二

9.5 两个平面的平行和判定第二课时

教学目标：
　　1．巩固复习两平面的位置关系．
　　2．巩固复习平行平面的判定与性质．
　　3．能应用平行平面的判定与性质解题．
教具准备：三角板、投影胶片．
教学过程：
［复习引入］
　　1．两个平面的位置关系．
　　2．两个平面平行的判定（两个判定）．
　　3．两个平面平行的性质（三个性质）．
　　4．两个平行平面的距离的概念．
［探索研究］
例1 如图，是正方体，分别是的中点．
　　（1）求证：平面平面；
　　（2）若正方体棱长为，求平面与平面间的距离．

证明：（1）取的中点，连结
　　∵ 是正方体
　　∴ 是平行四边形
　　∴
　　又也是平行四边形
　　∴ ，∴
　　又且
　　∴平面平面．
　　（2）取中点，中点，作于，由平面得，∴ 平面，即的长是两个平行平面与间的距离．
　　∵
　　∴ ，
　　于是．
　　评析：第（1）问还可以通过证明平面，平面，得出面面，这也是证明两个平面平行的重要方法．
　　例2 如图，已知夹在两个平行平面间的两条异面线段所成角为，它们在平面内的射影长分别为2和12，且和平面所成的角之差为，求两个平行平面与之间的距离．
　　分析：首先将已知条件用图形表示出来，即作出有关的角和距离，再通过解平面图形求解．
　　解：过点在与所确定的平面内作交于，则是异面直线和所成的角，所以．
　　作于，于，连结，则，，．
　　∵ ，∴ ，设，即设间距离为．
　　在中，，在中，．
　　∴ ＝，
　　即，解得：或6．
　　即平面与之间的距离为4或6．
　　例3 如图，平面平面，，，是的公垂线，且，是斜线，若，，分别是和的中点．
　　（1）求证：平面；
　　（2）求的长．
　　（1）证明：连结，取的中点，连结、．

　　在△ 中，是的中点
　　∴ 平面
　　∴
　　同理
　　∵
　　∴
　　又是两相交直线
　　∴平面平面平面
　　∴ 平面．
　　（2）解：连结，在△ 与△ 中，是的公垂线
　　∴
　　是的中点
　　，又
　　∴△ ≌△ ，于是
　　是的中点，∴
　　在△ 中，，
　　∴
　　在△ 中，
　　∴ ．
［演练反馈］
　　1．是不重合的两个平面，则下列条件中，可推出的是（       ）
　　A．都与直线成等角
　　B．内有不共线的三点到的距离相等
　　C．是内的两条直线且，
D．是异面直线且，，，
2．若平面，直线，点，则在内过点的所有直线中（       ）
　　A．不一定存在与平行的直线
　　B．只有两条与平行的直线
　　C．存在无数条与平行的直线
　　D．有且只有一条与平行的直线
　　3．命题：①与三角形两边平行的平面平行于这个三角形的第三边．②与三角形两边垂直的直线垂直于第三边．③与三角形三顶点等距离的平面平行于这个三角形所在的平面．其中假命题的个数为（      ）
　　A．0           B．1          C．2           D．3
　　4．设是两条互不垂直的异面直线，过分别作平面，对于下列4种情况：① ② ③ ④ 可能的情况有（       ）
　　A．1种         B．2种          C．3种           D．4种
　　5．夹在两个平行平面之间的线段，且与成角，则与之间的距离为_____________．
　　6．设平面平面，，，直线，若，，，则
7．如图1，已知平面外一点，三条射线分别交于，交于、、．
　　（1）求证：△ ～△ ；
　　（2）若，，，求的长．