第一节 椭圆及其标准方程

教学设计示例

椭圆及其标准方程（第一课时）

（一）教学目标

　　掌握椭圆、椭圆的焦点、椭圆的焦距的定义，会推导椭圆的标准方程，能灵活应用椭圆标准形式确定椭圆的标准方程．

（二）教学过程

　　【情境设置】

　　前面，我们学习了曲线与方程等知识，哪一位同学回答：

　　问题1：什么叫做曲线的方程？求曲线的方程一般有哪几个步骤？

　　对于上述问题的回答．不正确的教师要给予纠正．这样便于学生温故知新，在已有知识的基础上去探求新的知识。

　　问题2：圆的几何特征是什么？你能否对类似的一些轨迹命题作深入的探索？

　　一般学生都能回答：“平面内到一个定点的距离为常数的点的轨迹是圆．”对于同学们提出的轨迹命题教师要加以肯定，以鼓励同学们的探索精神．

　　【探索研究】

　　1．椭圆的定义

　　若同学提到了“到两点距离之和等于常数的点的轨迹”。可因势利导进一步问满足这种条件的动点轨迹是什么呢？这时教师示范引导学生绘图．

　　取一条一定长的钢绳，把它的两端固定在画板上的 和 两点（如图），当绳长大于 和 间的距离时，用铅笔尖把细绳拉紧，使笔尖在图板慢移动，就可以画出一个椭圆．

　　通过画图过程，揭示椭圆上的点所要满足的条件．在此基础上，引导学生概括椭圆的定义：

　　平面内与两个定点 、 的距离的和等于常数（大于 ）的点轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距．

　　学生开始只强调椭圆的几何特征—到两个定点 、 的距离的和等于常数．这时教师在演示中再从两方面加以强调：

　　①将穿有铅笔的细绳拉到图板平面外，得到的不是椭圆，而是椭球形．使学生认识到必须限制：“在平面内”；

　　②这里的常数为什么要大于 ？教师边演示边提示学生注意：若常数 ，则点 的轨迹是线段 ，若常数 ，则轨迹不存在．所以要使轨迹是椭圆，必须加上限制条件：“此常数大于 ”．

　　2．椭圆的标准方程

　　1．椭圆的标准方程的推导．

　　由椭圆的定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质则一无所知．为此需要用坐标法先建立椭圆的方程．

　　①建系设点

　　建立坐标系是求曲线方程重要而关键的一步，一般应遵循简单、优化的原则，使点的坐标、几何量的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到以下的选取方法是恰当的．

　　以两定点 、 所在直线为 轴，线段 的垂直平分线为 轴，建立直角坐标系（如图）．设 ． ， 为椭圆上的任意一点，则 、 ．又设 与 、 的距离的和等于 ．

　　②点的集合

　　由定义不难得到椭圆的集合为 ．

　　③代数方程

．

　　④化简方程

　　化简方程可请一位反应比较快、书写较规范的同学板演，其余同学在下面完成．教师巡视，适当给予提示：

　　ⅰ原方程要移项平方，使之抵消部分项，否则相当复杂；一次平方后还含有根式可整理后再平方，化为 ；

　　ⅱ为了使方程简单对称和谐，引入 ，使 ，从而得到方程 ．

　　关于证明所得的方程是椭圆方程，因教材不要求，可从略．

　　因此，方程 即为所求椭圆的标准方程，它表示椭圆的焦点在 轴上，焦点是 、 ．这里 ．

　　如果使点 、 在 轴上，点 、 的坐标分别为 、 ，那么所得方程变为 ，这个方程也是椭圆的标准方程．

　　2．两种标准方程的比较（引导学生归纳）．

　　两种标准方程中都有 ， ，因此对于方程 ，只要 、 、 同号就是椭圆方程；它们的不同点是椭圆的位置不同，焦点坐标也不相同．由于 ，所以可以根据分母的大小来判定椭圆的焦点在哪一个坐标轴上．分母哪个大，焦点就在哪个轴上．

　　（3）例题分析

　　例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程．

　　①两个焦点的坐标分别是 、 ，椭圆上一点到两焦点距离的和等于10．

　　②两个焦点的坐标分别是 、 ，并且经过点 ．

　　解：①因为椭圆的焦点在 轴上，所以设它的标准方程为 ．

，      ∴ ，      ∴

　　所以所求椭圆的标准方程为 ．

　　②因为椭圆的焦点在 轴上，所以设它的标准方程为 ．

　　由椭圆的定义知：

　　∴ ，又     ∴

　　所以所求椭圆的标准方程为 ．

　　另法：设所求的标准方程为

　　依题意得

　　解得

　　所以所求椭圆的标准方程 ．

　　点评：由已知条件，所求椭圆的标准方程的解题模式是：先确定焦点的位置，设出标准方程（若不能确定焦点的位置，则应分类讨论），再用待定系数法确定 、 的值．

　　例2  已知 、 是两个定点， ，且 的周长等于16，求顶点 的轨迹方程．

　　分析：由 的周长等于16， 可知，点 到 、 两点的距离的和是常数．因此，点 的轨迹是以 、 为焦点的椭圆，可适当建立坐标系求出方程．

　　解：如图，建立坐标系，使 轴经过点 、 ，原点 与 的中点重合．

　　由已知

 ．

 ，有

 ．

　　即点 的轨迹是椭圆，且 ， ．

　　∴ ， ， ．

　　但当点 在直线 上，即 时， 、 、 三点不能构成三角形，所以点 的轨迹方程是 ．

　　点评：①求出曲线的方程后，要注意检查一下方程的曲线上的点是否都符合题意，如果不符合题意的点，应在所得方程后注明限制条件．

　　②变题1°．已知 ， ， ， ， 成等差数列，求点 的轨迹方程．

　　2°，在 中， ， ， ，求顶点 的轨迹方程．

　　第1°题 、 、 三点不必构成三角形，就不应限制 ，2°， （ ， ， 为 的三边）应注意能构成三角形．

（三）随堂练习

　　1．平面内两个定点的距离等于8，一个动点 到这两个定点的距离的和等于10，建立适当的坐标系，写出动点 的轨迹方程．

　　2．如果椭圆 上一点 到焦点 的距离等于6，则点 到另一个焦点 的距离是___________．

　　3．写出适合下列条件的椭圆的标准方程：

　　① ， ，焦点在 轴上；

　　② ， ，焦点在 轴上；

　　③ ， ．

答案：1．    2．14

　　3．①      ②       ③ 或 ．

（四）总结提炼

　　1．椭圆的定义：平面内与两个定点 、 的距离的和等于常数 的点的轨迹是椭圆．

　　当 时，动点的轨迹为线段 ，当 时，动点不存在．

　　2．椭圆的标准方程

　　焦点在 轴上椭圆的标准方程为 ．

　　焦点在 轴上椭圆的标准方程为 ．

　　焦点所在坐标轴由分母大小对应分子的变量来确定．

　　3． 、 、 之间的关系是 ， ， ， 、 大小不确定．

（五）布置作业

　　1．椭圆 上一点 到一个焦点的距离等于3，则它到另一个焦点的距离为（     ）

　　A．5          B．7          C．8            D．10

　　2．椭圆 的焦距是2，则 的值等于（       ）

　　A．5或3      B．5         C．8          D．16

　　3．焦点坐标为（0，－4）、（0，4）， 的椭圆的标准方程为_________________．

　　4．已知椭圆 ， 、 是它的焦点， 是过 的直线与椭圆交于 、 两点，则 的周长为__________________．

　　5．化简下列方程，使结果不含根式：

　　（1） ．

　　（2） ．

　　6．动点 到两个定点 、 的距离的和是 ，求动点 的轨迹方程．

答案：1．B   2．A  3．   4．

5．（1）  （2）      6．

（六）板书设计

8.1  椭圆及其标准方程（一）
1．椭圆的定义 2．椭圆的标准方程 （1）标准方程的推导	（2）标准方程的比较 例1．	例2． 学生练习

教学设计示例

椭圆及其标准方程（第二课时）

（一）教学目标

　　能根据条件熟练地求出椭圆的标准方程，借助椭圆方程巩固求曲线方程的一般方法，并能根据条件对一些点进行取舍，学会利用中间变量（相关点）求轨迹方程或轨迹．

（二）教学过程

（请两位学生回答，教师板书）

　　问题1．椭圆的定义是什么？

　　平面内到两个定点 、 的距离的和等于常数（大于 ）的点的轨迹．

　　问题2．椭圆的标准方程是怎样的？

　　当焦点在 轴上时为 ；

　　当焦点在 轴上时为 ．

　　由椭圆的定义和标准方程可知，确定椭圆的标准方程需要三个条件，除需要指明焦点位置外，还要求出 、 的值．

【探索研究】

　　例1  求焦点在坐标轴上，且经过 和 两点的椭圆的标准方程．

　　分析：由题设条件焦点在哪一个坐标轴上不明确，椭圆的标准方程有两种情形．为了计算简便，可设其方程 ，而不必考虑焦点位置，直接可求出方程：

　　由一位学生板演完成，解答为：

　　设所求的椭圆方程为 ，

　　由 和 两点在椭圆上可得

        即

　　解得

　　故所求的椭圆方程为 ．

　　点评：不明确焦点在哪一个坐标轴上时，通常应进行分类讨论，但计算较繁，一般可设所求的椭圆方程为 ，不必考虑焦点位置，用待定函数法求出 、 的值即可．

　　例2  的两个顶点坐标分别是 和 ，另两边 、 的斜率的乘积是 ，求顶点 的轨迹方程．

　　解：设顶点 的坐标为

　　依题意得 ．

　　∴顶点 的轨迹方程为 ．

　　点评（1）不少学生会误认为椭圆的焦点就是 、 与推导出的方程表示焦点在 轴，椭圆矛盾，因而对正确性产生怀疑．说明这里顶点 的轨迹显然是椭圆但不直接满足椭圆的定义．

　　（2）此题可以推广为： 的两顶点坐标分别是 和 ，另两边 、 的斜率的乘积是 ，求顶点 的轨迹方程，请读者自己完成．

　　例3  如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2．从这个圆上任意一点 向 轴作垂线段 ，求线段 中点 的轨迹．

　　解：设点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，则 ， ．

　　因为 在圆 上，所以          ①

　　将 ， 代入方程①得

 即

　　所以点 的轨迹是一个椭圆．

　　点评：（1）在求点 的轨迹方程时，也可寻找 、 与中间变量 、 之间的关系．利用已知关于 、 之间关系的方程，得到关于 、 的方程，这种利用中间变量求点的轨迹方程的方法也是常用的方法．

　　（2）由本题的结论可以看出，将圆按照某个方向均匀地压缩（拉长），可以得到椭圆．

　　例4  一动圆与已知圆 外切，圆 内切，试求这动圆圆心的轨迹方程．

　　分析：两圆相切时，圆心之间的距离与两圆的半径有关，可以找到动圆圆心满足的条件．

　　由一位学生板演，教师巡视，同时启发学生分析．解答如下：

　　显然两定圆的圆心和半径分别为

 ， ； ， ．

　　设动圆圆心为 ，半径为 ，则由题设有

． ∴ ．

　　由椭圆定义可知 在以 ， 为焦点的椭圆上．

 ， ，    ∴ ．

　　故动圆圆心的轨迹方程为 ．

（三）随堂练习

　　1．以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点 和 ，则此椭圆方程是（      ）

　　A．                   B．

　　C． 或       D．以上都不对

　　2．已知椭圆的方程是 ，它的两个焦点分别为 、 ，则 ，弦 过 ，则 的周长为（       ）

　　A．10          B．20         C．           D．

　　3．已知一定圆 及其内一异于圆心 的定点 ，过点 且与圆 相切的动圆圆心 的轨迹是（       ）

　　A．直线         B．线段           C．圆            D．椭圆

答案：1．A  2．D  3．D

（四）总结提炼

　　1．在求椭圆的标准方程时，必须先确定焦点的位置，选择相应的标准方程，然后再根据条件求出 、 的值；若动点的轨迹满足椭圆定义时，可直接用定义写出方程，而不必要去重复繁琐的化简．

　　2．在求一些椭圆的方程时，要注意一些特殊点的取舍，将圆按照某个方向均匀地压缩（拉长），可以得到椭圆．

（五）布置作业

　　1．如果方程 表示焦点在 轴上的椭圆，那么实数 的取值范围是（      ）

　　A．           B．（0，2）        C．            D．（0，1）

　　2．过点（3，－2）且与 有相同焦点的椭圆方程是（      ）

　　A．                     B．

　　C．                     D．

　　3．若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则 ， 应满足的条件为__________________．

　　4．点 是椭圆 上一点，以点 以及焦点 、 为顶点的三角形的面积等于1，则 点的坐标为_______________．

　　5．从圆 上任意一点 向 轴作垂线段 ，且线段 上一点 满足关系式 ，求点 的轨迹．

　　6．如图，线段 的两端 、 分别在 轴、 轴上滑动， ，点 是 上一点，且 ，点 随线段 的运动而变化，求点 的轨迹方程．

答案：1．D  2．A  3． ．

4． 或 或 或 ．

5． ．

6．设 ， ，

　　依题意得 ．

　　由 得     即

　　∴ 即

　　这就是 点的轨迹方程．

（六）板书设计

8.1  椭圆及其标准方程（二）
（一）复习提问 问题1 问题2 （二）椭圆标准方程的求法	（三）例题分析 例1． 例2． 例3．	例4． 练习1 练习2 （四）小结