第五节 含绝对值的不等式

含有绝对值的不等式

教学目标

      理解 及其两个推论，并能应用它证明简单含有绝对值不等式的证明问题。

教学重点难点

　　重点是理解掌握定理及等号成立的条件，绝对值不等式的证明。

　　难点是定理的推导过程的探索，摆脱绝对值的符号，通过定理或放缩不等式。

教学过程

一、复习引入

　　我们在初中学过绝对值的有关概念，请一位同学说说绝对值的定义。

　　当 时，则有：

　　那么 与 及 的大小关系怎样？

　　这需要讨论  当

                当

                当

                综上可知：

　　我们已学过积商绝对值的性质，哪位同学回答一下？

.

　　当 时，有： 或 .

二、引入新课

　　由上可知，积的绝对值等于绝对值的积；商的绝对值等于绝对值的商。

　　那么和差的绝对值等于绝对值的和差吗？

1．定理探索

　　和差的绝对值不一定等于绝对值的和差，我们猜想

  　　　　 .

　　怎么证明你的结论呢？

　　用分析法，要证 .

　　只要证

　　即证

　　即证 ，

　　而 显然成立，

　　故

　　那么怎么证 ？

　　同样可用分析法

　　当 时，显然成立，

　　当 时，要证

　　只要证 ，

　　即证

　　而 显然成立。

　　从而证得 .

　　还有别的证法吗？（学生讨论，教师提示）

　　由 与 得 .

　　当我们把 看作一个整体时，上式逆用 可得什么结论？

 。

　　能用已学过得的 证明 吗？

　　可以 表示为 .

　　即 （教师有计划地板书学生分析证明的过程）

　　就是含有绝对值不等式的重要定理，即 .

　　由于定理中对 两个实数的绝对值，那么三个实数和的绝对值呢？ 个实数和的绝对值呢？

亦成立

 　

　　这就是定理的一个推论，由于定理中对 没有特殊要求，如果用 代换 会有什么结果？（请一名学生到黑板演）

 ，

　　用 代 得 ，

　　即 。

　　这就是定理的推论 成立的充要条件是什么？

　　那么 成立的充要条件是什么？

.

　　例1  已知 ，求证 . （由学生自行完成，请学生板演）

　　证明：

     

　

　

　　例2  已知 ，求证 .

　　证明：



　　点评：这是为今后学习极限证明做准备，要习惯和“配凑”的方法。

　　例3  求证 .

　　证法一：（直接利用性质定理）在 时，显然成立.

　　当 时，左边



 .

　　证法二：（利用函数的单调性）研究函数 在 时的单调性。

　　设 ，

 , 在 时是递增的.

　　又 ，将 ， 分别作为 和 ，则有

 （下略）

　　证法三：（分析法）原不等式等价于 ，

　　只需证 ，

　　即证

　　又 ，

 显然成立.

 原不等式获证。

　　还可以用分析法证得 ，然后利用放缩法证得结果。

三、随堂练习

　　1．①已知 ，求证 .

　　  ②已知 求证 .

　　2．已知   求证：

　　　① ；

　　　② .

　　3．求证 .

　　答案：1. 2. 略

　　3． 与 同号 

四、小结

      1．定理 . 把 、 、 看作是三角形三边，很象三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，这样理解便于记忆，此定理在后面学习复数时，可以推广到比较复数的模长，并有其几何意义，有时也称其为“三角形不等式”.

      2．平方法能把绝对值不等式转化为不含绝对值符号的不等式，但应注意两边非负时才可平方，有些证明并不容易去掉绝对值符号，需用定理 及其推论。

     3．对 要特别重视.

五、布置作业

　　1．若 ，则不列不等式一定成立的是（  ）

　　　  A．      B．

　　　  C．     D．

2．设 为满足 的实数，那么（  ）

　　　A．      B．

　　　C．      D．

3．能使不等式 成立的正整数 的值是__________.

4．求证：

　　（1） ；

　　（2） .

5．已知 ，求证 .

答案：1． D   2． B   3．1、2、3  

　　　4．   

　　　5．

　　　  =

　　注：也可用分析法.

六、板书设计