恩施州建始县第一中学2017届高三年级上学期9月月考

数学（理科）试题

★ 祝考试顺利 ★

时间：120分钟 分值150分_

第I卷（选择题共60分）

一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）

1．下列命题正确的有( )

①
的展开式中所有项的系数和为 0；

② 命题
:“
”的否定
:“
”；

③ 设随机变量
服从正态分布N(0, 1),若
，则
；

④ 回归直线一定过样本点的中心（
）。

A．1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

2．若sin
>0，cos
<0，则
角的终边在（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．已知
,且
在第三象限，则

A.
B.
C.
D.

4．若a是从区间[0，2]中任取的一个实数，b是从区间[0，3]中任取的一个实数，则a＜b的概率是（ ）

A．
B．
C．
D．

5．设
是空间两条直线，
,
是空间两个平面，则下列选项中不正确的是（ ）

A．当
时，“
”是“
”的必要不充分条件

B．当
时，“
”是“
”的充分不必要条件

C．当
时， “
”是“
∥
”成立的充要条件

D．当
时，“
”是“
”的充分不必要条件

6．定义域是R上的函数
满足
，当
时，

若
时，
有解，则实数t的取值范围是

A.

B.

C.

D.

7．已知集合A={0，1，2}，B={x|1＜x＜4}，则A∩B=（　　）

A．{0} B．{1} C．{2} D．{1，2}

8．直线x+
-2=0与圆x2+y2=4相交于A,B两点，则弦AB的长度等于

A、
B、
. C、
D、1

9．已知
，且
，则
为（ ）

A．
B．
C．2 D．

10．设S,T,是R的两个非空子集,如果存在一个从S到T的函数
满足:
对任意
当
时,恒有
,那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是（ ）

A、

B、

C、

D、

11．定义在R上的函数
满足：
的图像关于
轴对称，并且对任意的

有
，则当
时，有( )

A．
B．

C．
D．

12．已知双曲线
的焦点到渐近线的距离为
，且双曲线右支上一点
到右焦点的距离的最小值为2，则双曲线的离心率为（ ）

（A）
（B）3 （C）2 （D）

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，满分20分）

13．已知点
在曲线
上，
为曲线在点
处的切线的倾斜角，则
的取值范围是 。

14．随机变量X等可能取值为1,2,3，……，n，如果P(X＜4)＝0.3，那么n＝________.

15．若关于
的方程
有实根，则实数
的取值范围是

16．已知数列{an}是单调递增的等差数列，从a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7中取走任意三项，则剩下四项依然构成单调递增的等差数列的概率是________．

三、解答题（70分）

17．（本题10分）双曲线与椭圆
有相同焦点，且经过点
，求双曲线的方程

18．（本小题满分12分）在
中，内角
的对边分别为
，且

（1）求
的值；

（2）若
，求向量
方向上的投影．

19．（本小题满分14分）

已知函数
．

(Ⅰ) 求函数
的单调区间；

（Ⅱ）若函数
的图像在点
处的切线的倾斜角为
，问：
在什么范围取值时，对于任意的
，函数g(x)=x3 + x2
在区间
上总存在极值？

（Ⅲ）当
时，设函数
，若在区间
上至少存在一个
，

使得
成立，试求实数
的取值范围．

20．（本题12分）扶余市为“市中学生知识竞赛”进行选拔性测试，且规定：成绩大于或等于
分的有参赛资格，
分以下（不包括
分）的则被淘汰。若现有
人参加测试，学生成绩的频率分布直方图如下：

（1）求获得参赛资格的人数；

（2）根据频率分布直方图，估算这
名学生测试的平均成绩．

21．（本题12分）已知椭圆
：
的一个焦点为
，左右顶点分别为
，
，经过点
的直线
与椭圆
交于
，
两点．

（1）求椭圆方程；

（2）记
与
的面积分别为
和
，求
的最大值．

22．（本题12分）（本小题满分10分）已知函数
，且当
时，
的最小值为2，

（1）求
的单调递增区间；

（2）先将函数
的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的
，再把所得的图象向右平移
个单位，得到函数
的图象，求方程
在区间
上所有根之和

答案

1．D

【解析】

试题分析：①对，令
，则
=0，故展开式所有项的系数为0，②对，对于③，

易知，
,所以

，所以正确.

由回归方程可知回归直线一定经过
，故正确.故选D.

考点：命题的真假判断与应用；命题的否定；对数值大小的比较；线性回归方程．

点评：本题考查了命题的真假判断，综合考查了相关问题的概念，如：回归直线方程与线性相关性，特称命题与全称命题，对数与指数的应用．

2．B

【解析】

试题分析：根据题意,由于sin
>0，则角在第一和第二象限，对于cos
<0，角在第二和第三象限，故同时成立时，则角
的终边在第二象限，故选B.

考点：三角函数的象限的符号

点评：本题是基础题，考查三角函数的象限的符号，考查不等式的解法，送分题．

3．D

【解析】

试题分析：因为
，且x在第三象限，所以
并且
，解得
，
，故答案选D.

考点：三角函数定义；同角三角函数的基本关系式；象限三角函数的符号.

4．A

【解析】

试题分析：由题意知本题是一个几何概型，根据所给的条件作出试验发生是包含的所有事件是一个矩形区域，做出面积，看出满足条件的事件对应的面积，根据几何概型公式得到结果．

解：如图，所有的基本事件对应集合Ω={（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤3}，

所构成的区域为矩形及其内部，其面积为S=3×2=6，

事件A对应的集合A={（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤3，且a＜b}，

且在直线a=b的右上方部分，其面积S'=6﹣
×2×2=4，

故事件A发生的概率P（A）=
=
，

故选：A．

考点：几何概型．

5．A

【解析】

试题分析：当
时，若
可得
或
异面；若
可得
或
，所以“
”是“
”的既不充分也不必要条件，答案选A.

考点：本小题主要考查充分必要条件.

6．B

【解析】当
时，
的取值范围为
，当
时，
的取值范围为
，则当
时，
的值域为
；由
，

得
，当
时，
；则当
时，
的值域为
；若
时，
有解，则
，即
，解得
.

考点：函数的图像与性质.

7．C.

【解析】

试题分析：由题意所给的集合及交集定义易知，既在集合A又在集合B中的元素仅有元素2，故A∩B={2}.

考点：集合的基本运算.

8．B

【考点定位】该题主要考查直线和圆的位置关系，考查计算求解能力

【解析】
B正确.

9．B

【解析】

试题分析：

考点：向量的运算

10．D

【解析】

试题分析：由题意（1）可知，S为函数y＝f（x）的定义域，T为函数y＝f（x）的值域，由（2）可知，函数y＝f（x）在定义域内单调递增，对于A，可构造函数y＝x－1，x∈N*，y∈N，满足条件；对于B，构造函数
满足条件；对于C，构造函数
，x∈（0,1），满足条件；对于D，无法构造其定义域为Z，值域为Q且递增的函数，故选D．

考点：（1）这是信息给予题，要理解题中的信息，（2）构造函数思想的应用。

11．A

【解析】

试题分析：由
的图像关于
轴对称可知函数
为偶函数故
，由对任意的

有
可知函数
在
单调增，在
单调减，
，综上可知
.

考点：本题考查函数的单调性、最值，函数的奇偶性、周期性.

12．C

【解析】

考点：双曲线的简单性质．

分析：根据双曲线性质可知双曲线右支上一点P到右焦点的距离的最小时，p在右顶点上，进而求得c-a的值，然后利用点到直线的距离表示出焦点到渐近线的距离，求得a和c的关系式，最后两关系式联立求得a和c，则离心率可得．

解：依题意可知双曲线右支上一点P到右焦点的距离的最小时，P在右顶点上，即c-a=2①

∵焦点到渐近线的距离为2
，

即
=2
，②

①②联立求得a=2，c=4

∴e=
=2

故选C．

13．

【解析】解：根据题意得f′（x）=
，

∵k=

且k＜0

则曲线y=f（x）上切点处的切线的斜率k≥-1，

又∵k=tanα，结合正切函数的图象

由图可得α∈

故答案为：

14．10

【解析】略

15．

【解析】

试题分析：由
得

，因为
，所以
．

考点：方程有解问题，三角函数的性质．

【名师点睛】本题考查方程根的问题（函数零点），解题关键是进行问题的转化，肥方程有解问题转化为求函数值域，即求函数
的值域，对此函数只要注意
具有范围限制：
，因此三角函数值域又可通过换元法变为求在给定区间上的二次函数的值域．在变换过程中注意参数的联欢会范围的变化，否则易出错．

16．

【解析】从a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7中取走任意三项，有
＝35种不同方法，剩下四项依然构成单调递增的等差数列的取法有3种，即取走a1，a2，a3；a5，a6，a7；a2，a4，a6．所以所求概率P＝
．

17．
．

【解析】

试题分析：由椭圆方程可求得其焦点，即双曲线的焦点，则可设出双曲线方程，将点
代入即可求得双曲线方程．

试题解析：解：由题意知双曲线的焦点为
，可设双曲线方程为
，

点
在曲线上，代入得
或
（舍）

所以双曲线的方程为
．

考点：双曲线方程．

18．（1）
（2）

【解析】

试题分析：（1）根据
、二倍角公式以及两角和与差的三角函数公式化简即可，三角函数化简无非就是应用二倍角公式、降幂公式以及两角和与差公式，例如本题中出现
，这就是一个切入点；（2）由正弦定理以及余弦定理先求出需要的值，再根据投影的定义求解

试题解析：（1）由
，得

，

即
，

则
，即
．

（2）由
，
，得
．

由正弦定理，有
，所以
．

由题意知
，则
，故
．

依余弦定理，有
，

解得
或
（舍去）．

故向量
在
方向上的投影为
．

考点：1．二倍角公式；2．两角和与差的三角函数公式；3．正、余弦定理；4．投影的概念

19．（Ⅰ）当
时，函数
的单调增区间是
，单调减区间是
；

当
时，函数
的单调增区间是
，单调减区间是
.

（Ⅱ）当
在
内取值时，对于任意的
，函数
在区间
上总存在极值.

（Ⅲ）

【解析】

试题分析：(I)求导，根据导数大（小）于零，求得函数f(x)的增（减）区间，要注意含参时对参数进行讨论.

（II）根据
可得
，从而可求出
,进而得到
,那么本小题就转化为
有两个不等实根且至少有一个在区间
内,然后结合二次函数的图像及性质求解即可.

(III)当a=2时，令
，则

.

然后对p分
和