河南省部分重点中学2017届高三上学期第一次联考

数学（理）试卷

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知集合
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2.在复平面内，复数
（
是虚数单位）对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3.设
，则“
”是“直线
与直线
平行”的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

4.在
中，
为
边的中点，若
，
，则
（ ）

A．
B．
C.
D．

5.将函数
的图象向左平移
个单位，所得的函数关于
轴对称，则
的一个可能取值为（ ）

A．
B．
C.0 D．

6.若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（ ）

A．
B．
C.
D．

7.如图所示的茎叶图为高三某班50名学生的化学考试成绩，算法框图中输入的
为茎叶图中的学生成绩，则输出的
分别是（ ）

A．
B．

C.
D．

8.如图，周长为1的圆的圆心
在
轴上，顶点
，一动点
从
开始逆时针绕圆运动一周，记走过的弧长
，直线
与
轴交于点
，则函数
的图象大致为（ ）

A． 　 B． 　C． D．

9.设方程
与
的根分别为
，则（ ）

A．
B．
C.
D．

10.已知点
是抛物线
的对称轴与准线的交点，点
为抛物线的焦点，
在抛物线上且满足
，当
取最大值时，点
恰好在以
，
为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）

A．
B．
C.
D．

11.设等差数列
的前
项和为
，已知
，
，则下列结论正确的是（ ）

A．
B．

C.
D．

12.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数
称为狄利克雷函数，则关于函数
有以下四个命题：

①
； ②函数
是偶函数；

③任意一个非零有理数
，
对任意
恒成立；

④存在三个点
，
，
，使得
为等边三角形．

其中真命题的个数是( )

A．4 B．3 C.2 D．1

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.已知等比数列
的第5项是二项式
展开式中的常数项，则
．

14.冬季供暖就要开始，现分配出5名水暖工去3个不同的居民小区检查暖气管道，每名水暖工只去一个小区，且每个小区都要有人去检查，那么分配的方案共有 种.

15.若不等式组
所表示的平面区域存在点
，使
成立，则实数
的取值范围是 .

16.如图所示，由直线
，
及
轴围成的曲边梯形的面积介于相应小矩形与大矩形的面积之间，即
．类比之，
，
恒成立，则实数
.

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.(本题满分12分)

在
中，内角
对应的三边长分别为
，且满足
．

（Ⅰ）求角
；

（Ⅱ）若
，求
的取值范围.

18.（本小题满分12分）

为增强市民的节能环保意识，郑州市面向全市征召义务宣传志愿者，从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区是：
．

（Ⅰ）求图中
的值，并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在
岁的人数；

（Ⅱ）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取10名参加中心广场的宣传活动，再从这10名志愿者中选取3名担任主要负责人．记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为
，求
的分布列及数学期望.

19.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥
中，
平面
，
为直角，
，
，
，
分别为
，
的中点.

（Ⅰ）证明：
平面
；

（Ⅱ）若
，求二面角
.

20.（本小题满分12分）

椭圆
，原点
到直线
的距离为
，其中：点
，点
.

（Ⅰ）当
，
，
成等差数列时，求
的面积；

（Ⅱ）经过椭圆右焦点
的直线
和该椭圆交于
、
两点，点
在椭圆上，
为原点，若
，求直线
的方程.

21.（本小题满分12分）

已知函数
，函数
在
处的切线
与直线
垂直.

（Ⅰ）求实数
的值；

（Ⅱ）若函数
存在单调递减区间，求实数
的取值范围；

（Ⅲ）设
是函数
的两个极值点，若
，求
的最小值．

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

已知
中，
，
为
外接圆劣弧
上的点（不与点
重合），延长
至
，延长
交
的延长线于
．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求证：
．

23．（本小题满分10分）选修4-4：极坐标系与参数方程

已知曲线
的参数方程为
（
为参数），以直角坐标系原点为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系．

（Ⅰ）求曲线
的极坐标方程；

（Ⅱ）若直线
的极坐标方程为
，求直线
被曲线
截得的弦长．

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数
，不等式
的解集为
．

（Ⅰ）求实数
的值；

（Ⅱ）若
对一切实数
恒成立，求实数
的取值范围．

17届（高三）第一次联考

数学（理）试卷

试卷答案

一、选择题

1-5:CDADB 6-10:BBDAC 11、12：DA

二、填空题

13.36 14.150 15.
16.

三、解答题

17.解析：（Ⅰ）∵
，

∴
，
…………………………2分

∵
，∴
……………………………………4分

∴
…………………………………………6分

（Ⅱ）解法1：

由正弦定理得
，

∴
．……………………………………8分

∴

…………10分

∵
，∴
，
，

所以
．…………………………12分

解法2：

∵
，∴
，
……………………8分

∵
，
……………………………………10分

，即
，∵
，∴
……………………12分

（Ⅱ）用分层抽样的方法，从中选取10名，则其中年龄“低于35岁”的人有6名，“年龄不低于35岁”的人有4名，故
的可能取值为
．………………………………………………5分

，
，

，
．………………………………………………………………9分

故
的分布列为

0

1

2

3















所以
．……………………………………………………12分

19.解：（Ⅰ）

证：由已知
平行且等于
且
为直角，故
是矩形，

从而
．

又
底面
，∴平面
平面
，

∵
，故
平面
，∴
，

在
内，
、
分别是
、
的中点，
，∴
，

由此得
平面
.………………………………6分

方程有解
，故不论
取任何正整数时，方程总有公共根
.

（Ⅱ）以
为原点，以
，
，
为
轴，
轴，
轴正向建立空间直角坐标系，

则
，
，

设平面
的法向量为
，平面
的法向量为
，

则

可取
，

设二面角