2017届高三数学练习（理科）

一、选择题

1. 已知集合
，
，则
= A

A.
B.
C.
D.

2. 复数z满足（1-i）z=m+i （m∈R, i为虚数单位），在复平面上z对应的点不可能在 D

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3. 已知命题
：
，总有
，则
为　　B

A.
，使得
B.
，使得

C.
，总有
D.
，总有

4. 执行如图所示的程序框图，输出的k值是 B

A. 4 B. 5 C. 6 D.7

5. 有5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5从这5张卡片中随机抽取2张，那么取出的2张卡片上的数字之积为偶数的概率为（ ）Ｃ

A
B
C
D

6. 函数y=4cosx-e|x|（e为自然对数的底数）的图象可能是 A

A B C D

7. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 B

A．
B．
C．
D．

8.已知实数
满足
，则
的最大值是 B

A．
B．9 C．2 D．11

9. 设函数
，
，若
在区间
上单调，且

，则
的最小正周期为 D

A．
B．2π C．4π D．π

10. 如图,已知一个八面体的各条棱长均为1, 四边形ABCD 为正方形，则下列命题中的真命题是 C

A.不平行的两条棱所在的直线所成的角是60o或90o；

B. 四边形AECF是正方形；

C. 点A到平面BCE的距离为
;

D. 该八面体的顶点不会在同一个球面上.

11．双曲线C：
的左、右焦点分别为
，
，M，N两点在双曲线C上，且MN∥F1F2，
，线段F1N交双曲线C于点Q，且
，则双曲线C的离心率为 D

A．2

B．

C．

D．





12．已知变量a,b满足b=－
a2+3lna (a>0),若点Q(m,n)在直线y=2x+
上, 则(a-m)2+(b-n)2的最小值为 C

A. 9

B.

C.

D.3





二、填空题

13. 已知向量
=（1，
），
=（3, m），且
在
上的投影为3，则向量
与
夹角为 300

14. 设函数
，且f（x）为奇函数，则g（
）= 2

15. 在△ABC中，a＝3，b＝2，∠B＝2∠A，则c= ．5

16．过双曲线

的左焦点
，作圆
的切线，切点为
，延长
交双曲线右支于点
，若
，则双曲线的离心率是

三、解答题

17. (本小题满分12分)

已知数列{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1=1，b2=
，anbn+1+bn+1=nbn．

（Ⅰ）分别求数列{an}，{bn}的通项公式；

（Ⅱ）令cn= an bn，求数列{cn}的前n项和Tn．

解：（Ⅰ）∵anbn+1+bn+1=nbn．

当n=1时，a1b2+b2=b1． ∵b1=1，b2=
， ∴a1=2，

又∵{an}是公差为3的等差数列， ∴an=3n-1，…………………………3分

∴（3n-1）bn+1+bn+1=nbn． 即3bn+1=bn．

即数列{bn}是以1为首项，以
为公比的等比数列， ∴bn=
，…………………………6分

（Ⅱ）cn= an bn=（3n-1）

∴Tn=2×
+5×
+8×
+……+（3n-1）
①

Tn= 2×
+5×
+8×
+……+（3n-1）
② …………………………9分

① - ②：
Tn=2 +3×
+3×
+……+3×
-（3n-1）

=2 + 3×
-（3n-1）

∴Tn=
-
（6n+7）31-n …………………………12分

18. (本小题满分12分)

随机询问某大学40名不同性别的大学生在购买食物时是否读营养说明，得到如下列联表： 性别与读营养说明列联表

男

女

总计



读营养说明

16

8

24



不读营养说明

4

12

16



总计

20

20

40



（Ⅰ）根据以上列联表进行独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为性别与是否读营养说明之间有关系？

（Ⅱ）从被询问的16名不读营养说明的大学生中，随机抽取2名学生，求抽到男生人数
的分布列及其均值（即数学期望）．

（注：
，其中
为样本容量．）

（Ⅰ）由表中数据，得
……4分（列式2分，计算1分，比较1分），

因此，能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为性别与读营养说明有关……5分

（Ⅱ）
的取值为0，1，2……6分

，
，




















的分布列为

……10分

的均值为
……12分．

19．（本小题满分12分）

如图，在三棱柱
中，面
为矩形，
为
的中点，
与
交于点
.

（Ⅰ）证明：
；

（Ⅱ）若
，求BC与平面ACD所成角的正弦值.

（Ⅰ）证明：由已知得，
, ∴Rt△BAD∽Rt△ABB1

∴∠BDA=∠B1AB, ∴∠ABD+∠B1AB=∠ABD+∠BDA=90o

∴在△AOB中，∠AOB=180o -(∠ABO+∠OAB ) =90o,即BD⊥AB1 …………………………4分

另BC⊥AB1，BD∩BC=B，∴AB1⊥平面BCD，CD
平面BCD,

∴CD⊥AB1 …………………………6分

(Ⅱ) 在Rt△ABD中，AB=1，AD=
∴AO=

在Rt△AOB中, 得BO=
,
即

----8分

建立如图坐标系，设BC与平面ACD所成的角为

设平面ADC的法向量为n.解得n=
.

即BC与平面ACD所成角的正弦值为
12分

20. （本题满分12分）

如图，O为坐标原点，点F为抛物线C1：
的焦点，且抛物线C1上点P处的切线与圆C2：
相切于点Q．

（Ⅰ）当直线PQ的方程为
时，求 抛物线C1的方程；

（Ⅱ）当正数P变化时，记S1 ，S2分别为△FPQ，△FOQ的面积，求
的最小值．

解：（Ⅰ）设点P（x0，
），由x2=2py（p＞0）得，y=
，求导y′=
，因为直线PQ的斜率为1，所以
=1且x0 -
-√2=0，解得p=2
，所以抛物线C1?的方程为x2=4
y．…………………………4分（Ⅱ）因为点P处的切线方程为：y-
=
（x-x0），即2x0x-2py-x02=0，

∴ OQ的方程为y=-
x根据切线与圆切，得d=r，即
，化简得x04=4x02+4p2，由方程组
，解得Q（
，
），…………………………7分所以|PQ|=√1+k2|xP-xQ|=
点F（0，
）到切线PQ的距离是d=
，所以S1=

=
，S2=
， …………………………9分而由x04=4x02+4p2知，4p2=x04-4x02＞0，得|x0|＞2，所以

=

=
+3≥2
+3，当且仅当
时取“=”号，

即x02=4+2
，此时，p=
．所以
的最小值为2
+3．…………………………12分

21. (本小题满分12分)

设函数f（x）=（x﹣a）2lnx，a∈R．（I）若x=e是y=f（x）的极值点，求实数a的值；（Ⅱ）若函数y=f（x）﹣4e2只有一个零点，求实数a的取值范围

解：（Ⅰ）函数f（x）=（x﹣a）2 lnx，a∈R．

∴ f′（x）=2（x﹣a）lnx+
=（x﹣a）（2lnx+1﹣
），…………………………2分

由x=e是f（x）的极值点，所以f′（e）=0解得a=e或a=3e．

经检验，a=e或a=3e符合题意，所以a=e或a=3e；…………………………4分

（Ⅱ）由已知得方程f（x）=4e2只有一个根，

即曲线f（x）与直线y=4e2只有一个公共点．

易知f（x）∈（﹣∞，+∞），设
，

①当a≤0时，易知函数f（x）在（0，+∞）上是单调递增的，满足题意；…………………6分

②当0＜a≤1时，易知h（x）是单调递增的，又h（a）=2lna＜0，h（1）=1﹣a≥0，

∴?x0∈（a，1），h（x0）=0，

当0＜x＜a时，f′（x）=（x﹣a）（2lnx+1﹣
）>o

∴f（x）在（0，a）上是单调递增，

同理f（x）在（a，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，

又极大值f（a）=0，所以曲线f（x） 满足题意；…………………………8分

③当a＞1时，h（1）=1﹣a＜0，h（a）=2lna＞0，

∴?x0∈（1，a），h（x0）=0，即，得a﹣x0=2x0lnx0，

可得f（x）在（0，x0）上单调增，在（x0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增…………10分

又f（a）=0，若要函数f（x）满足题意，只需f（x0）<4e2，即（x0-a）2lnx0<4e2

∴x02ln3x01，知g（x）=x2ln3x>0,且在[1, ＋∞）上单调递增，

由g（e）=e2，得1＜x0＜e，因为a=x0+2x0lnx0在[1，+∞）上单调递增，

所以1＜a＜3e；

综上知，a∈（－∞，3e）…………………………12分

选考题

22．（本小题满分10分）

选修4 - 1：几何证明选讲

如图，EF是⊙O的直径，AB∥EF，点M在EF上，AM、BM分别交⊙O于点C、D。设⊙O的半径是r，OM = m。

（Ⅰ）证明：
；

（Ⅱ）若r = 3m，求
的值。

（Ⅰ）证明：作
交
于点
，作
交
于点
.

因为
，
，

所以
.

从而

.

故
…………5分

（Ⅱ）因为
，
，

所以
.

因为

所以
.

又因为
，所以
． …………….10分

23．（本小题满分10分）

选修4 - 4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，直线l的方程是y = 8，圆C的参数方程是
（φ为参数）。以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系。

（Ⅰ）求直线l和圆C的极坐标方程；

（Ⅱ）射线OM：θ = α（其中
）与圆C交于O、P两点，与直线l交于点M，射线ON：
与圆C交于O、Q两点，与直线l交于点N，求
的最大值。

解：（Ⅰ）直线
的极坐标方程分别是
.

圆
的普通方程分别是
，

所以圆
的极坐标方程分别是
. ··············5分

（Ⅱ）依题意得，点
的极坐标分别为
和

所以
，
，

从而
.

同理，
.

所以

，

故当
时，
的值最大，该最大值是
. ···············…10分

24. （本小题满分10分）

选修4-5：不等式选讲

已知不等式|x+3|<2x+1的解集为{x|x>m}.

（Ⅰ）求m的值；

（Ⅱ）设关于x的方程|x-t|+|x+
|=m(t≠0)有实数根，求实数t的值.

解：（Ⅰ）由|x?3|?2x?1得，

或
，

解得x?2，依题意m?2．················································· 5分

（Ⅱ）因为m=|x?t|?|x?
|≥|x?t?(x+
)|?|t?
|?|t|?
，

当且仅当（x-t）（x+
）≤0时，等号成立

∵m=2， ∴|t|?
≤2，

另一方面，|t|?
≥2，当且仅当|t|=
时，等号成立，

∴只有|t|=