南昌二中2016—2017学年度上学期第二次考试

高三数学（文）试卷

命题人：任淑珍 审题人：陶学明

一、选择题：(大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．复数
的共轭复数为

A．
B．
C．
D．

2．设
,则

A．
B．
C．
D．

3．下列选项错误的是

A．命题“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”的逆否命题是“若x2﹣3x+2=0，则x=1”

B．“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件

C．若命题“p：?x∈R，x2+x+1≠0”，则“￢p：?x0∈R，x02+x0+1=0”

D．若“p∨q”为真命题，则p、q均为真命题

4．某高三同学在七次月考考试中，数学成绩如下：

90 89 90 95 93 94 93

去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为

A．92，2 B．92，2.8 C．93，2 D．93，2.8

5.已知
则
的值为

A.
B.
C.
D.

6.已知
是两条不同的直线，
是三个不同的平面，则下列命

题中正确的是

A. 若

B. 若

C. 若

D. 若

7.执行如图的程序框图，则输出的S的值为

A．1 B．2 C．3 D．4

8. 等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，点M，N分别是

AB，BC中点，点P是△ABC（含边界）内任意一点，则
?

的取值范围是

A．[﹣
，
] B．[﹣
，
]

C．[﹣
，
] D．[
，
]

9．《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织了5尺布，现在一月（按30天计算）共织390尺布，记该女子一月中的第n天所织布的尺数为an，则a14+a15+a16+a17的值为

A．55 B．52 C．39 D．26

10.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A．
B．3π C．
D．6π

11.将函数f（x）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜
）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1、x2，有|x1﹣x2|min=
，则φ=

A．
B．
C．
D．

12．已知
又
若满足
的
有四个,则
的取值范围为

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．幂函数
在区间
上是增函数，则

14.若直线
过曲线
的对称中心，则
的最小值为 .

15．已知在三棱锥P﹣ABC中，VP﹣ABC=
，∠APC=
，∠BPC=
，PA⊥AC，PB⊥BC，且平面PAC⊥平面PBC，那么三棱锥P﹣ABC外接球的半径为______．

16.已知函数
与直线
相切于点
，若对任意
，不等式
恒成立，则所有满足条件的实数
组成的集合为_________.

三、解答题(本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．（本小题10分）
中,角
所对边分别是
且

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）若
，求
面积的最大值.

18. （本小题12分）已知数列{an}的首项a1=
，an+1=
，n=1，2，3，…．

（Ⅰ）证明：数列{
﹣1}是等比数列；

（Ⅱ）求数列{
}的前n项和Sn．

19. （本小题12分）高三数学备课组为了检查学生的纠错情况，开展了试卷讲评后效果的调查，从上次月考数学试题中选出一些学生易错题．重新进行测试，并认为做这些题不出任何错误的同学为“过关”，出了错误的同学认为“不过关”，现随机调查了年级50人，他们的测试成绩的频数分别如表：

上次月考数学成绩分数段

（0，60）

[60，75）

[75，90）

[90，105）

[105，120）

[120，150]



 人数

 5

 10

 15

 10

 5

 5



“过关”人数

1

 2

9

 7

3

 4



（Ⅰ）由以上统计数据完成如下2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为数学成绩不低于90分与测试“过关”是否有关？说明你的理由．

分数低于90分人数

分数不低于90分人数

 合计



 过关人数









 不过关人数









 合计









（Ⅱ）在上次月考数学成绩分数段[105，120）的5人中，从中随机选3人，求抽取到过关测试“过关”的人数为1人的概率？

下面的临界值表供参考：

P（K2≥k）

 0.15

0.10

 0.05

0.025



 K

2.072

 2.706

3.841

 5.024



K2=
．

20. （本小题12分）在三棱柱
中，侧面
为矩形，
，
为
的中点，
与
交于点
，
⊥侧面
．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）若
，求三棱锥
的体积．

21.（本小题12分）动圆P过点M（﹣1，O），且与圆N：x2+y2﹣2x﹣15=0内切，记圆心P的轨迹为曲线C．

（Ⅰ）求曲线C的方程；

（Ⅱ）过点M且斜率大于0的直线l与圆P相切，与曲线C交于A，B两点，A,B的中点为Q．若点Q的横坐标为﹣
，求圆P的半径r．

22．（本小题12分）已知函数f（x）=
x2+mlnx+x

（Ⅰ）求f（x）的单调区间；

（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣
x2，试问过点P（1，3）存在多少条直线与曲线y=g（x）相切？并说明理由．

南昌二中2016—2017学年度上学期第二次考试

高三数学（文）试卷答案

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

题目

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



选项

C

C

D

B

B

C

B

A

B

B

D

A



二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13． __2__ 14．
15． 2 16 ____
_

三、解答题(本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

（2）由余弦定理：

当且仅当
时
有最大值

18.（1）证明：

∴数列
是以为
首项，
为公比的等比数列．

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知
﹣1=
，即
，

∴
．

设
，①

则
，②

由①﹣②得

∴
．又
，

∴数列
的前n项和

19.解：（I）依题意得，a=12，b=18，c=14，d=6，

填写列联表如下；

分数低于90人数

分数高于90人数

合计



过关人数

 12

 14

 26



不过关人数

 18

 6

 24



合计

 30

 20

 50



计算观测值K2=
=
≈4.327＞3.841，

对照数表知，有95%的把握认为数学成绩不低于90（分）与测试“过关”有关；

（II）在分数段[105，120）的5人中，有3人 测试“过关”记为a,b,c，另两人记为d,e

随机选3人，抽取到所有可能为（a,b,c）(a,b,d)(a,b,e)(a,c,d)(a,c,e)（a,d,e）(b,c,d)(b,c,e)(b,d,e)(c,d,e)共10种

记事件A：“抽取到过关测试“过关”的人数为1人”包含3种

则P（A）=
。

20.(1)
,

故

.

21.解：（1）圆N：x2+y2﹣2x﹣15=0的方程可化为（x﹣1）2+y2=16，

∴圆心N（1，0），半径r=4，

设圆心P（x，y），∵圆P过点M，∴圆P半径为|PM|，

又∵圆P与圆N内切，∴|PN|=4﹣|PM|，即|PM|+|PN|=4，

又|MN|=2＜4，

∴由椭圆定义得：点P的轨迹是以M、N为焦点，长轴长为4，短轴长为
的椭圆，

∴曲线C的方程为：
．

（2）依题意设直线l的方程为y=k（x+1），k＞0，

联立
，得（3+4k2）x2=8k2x+4k2﹣12=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则
，

∴AB的中点Q的横坐标xQ=
，

由
，解得k=
或k=﹣
（舍），

∵直线l与圆P相切于点M，∴圆心P在直线y=﹣
（x+1）上，

由
，得5x2+8x=0，解得x=0或x=﹣
，

∴圆心P（0，﹣
）或P（﹣
，
），

当圆心P（0，﹣
）时，r2=（0+1）2+（﹣
）2=4，即r=2，

当圆心P（﹣
，
）时，r2=（﹣
+1）2+（
）2=
，即r=
．

∴圆P的半径r为2或
．

22.解：（1）f（x）=
x2+mlnx+x，（x＞0），

f′（x）=x+
+1=
=
，

①m≥0时，f′（x）＞0，函数在（0，+∞）递增，

②m＜0时，令f′（x）＞0，解得：x＞
，

令f′（x）＜0，解得：x＜
，

∴f（x）在（0，
）递减，在（
，+∞）递增；

（2）设切点为（x0，x0+mlnx0），则切线斜率k=1+
，

切线方程为y﹣（x0+alnx0）=（1+
）（x﹣x0）．

因为切线过点P（1，3），则3﹣（x0+alnx0）=（1+
）（1﹣x0）．

即m（lnx0+
﹣1）﹣2=0． …①

令g（x）=m（lnx+
﹣1）﹣2（x＞0），则 g′（x）=m（
﹣
）=
，

①当m＜0时，在区间（0，1）上，g′（x）＞0，g（x）单调递增；

在区间（1，+∞）上，g′（x）＜0，g（x）单调递减，

所以函数g（x）的最大值为g（1）=﹣2＜0．

故方程g（x）=0无解，即不存在x0满足①式．

因此当m＜0时，切线的条数为0．

②当m＞0时，在区间（0，1）上，g′（x）＜0，g（x）单调递减，

在区间（1，+∞）上，g′（x）＞0，g（x）单调递增，

所以函数g（x）的最小值为g（1）=﹣2＜0．

取x1=e1+
＞e，则g（x1）=a（1+
+e﹣1﹣
﹣1）﹣2=ae﹣1﹣
＞0．

故g（x）在（1，+∞）上存在唯一零点．

取x2=e﹣1﹣
＜
，则

g（x2）=m（﹣1﹣
+e1+
﹣1）﹣2=me1+
﹣2m﹣4=m[e1+
﹣2（1+
）]．

设t=1+
（t＞1），u（t）=et﹣2t，则u′（t）=et﹣2．

当t＞1时，u′（t）=et﹣2＞e﹣2＞0恒成立．

所以u（t）在（1，+∞）单调递增，u（t）＞u（1）=e﹣2＞0恒成立，

所以g（x2）＞0．

故g（x）在（0，1）上存在唯一零点．

因此当m＞0时，过点P（1，3）存在两条切线．

③当m=0时，f（x）=x，显然不存在过点P（1，3）的切线．

综上所述，当m＞0时，过点P（1，3）存在两条切线；

当m≤0时，不存在过点P（1，3）的切线．

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