2017届高三第二次月考

数学试题（理科）

一、选择题：（本大题有12小题，每小题5分，共60分.）

1．已知集合
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2.若
，则下列不等式：①
；②|a|+b＞0；③
；

④
中，不正确的不等式是（ ）

A．①④ B．②③ C．①③ D．②④

3.不等式
在R上恒成立的必要不充分条件是（　　）

A．
B．
C．
D．

4．已知
是定义在R上的奇函数，
是偶函数，当
时，
，则
=（ ）

A．1 B．0 C．2 D．-2

5．已知函数
，
（其中
且
），若
，则
，
在同一坐标系内的大致图象是（ ）

6．已知直线
与函数
的图象相切，则实数
的值为（ ）

A．
或
B．
或
C．
或
D．
或

7．已知函数
，且函数
有两个不同的零点，则实数
的取值范围是（ ）

A.
B.

C.
D．

8．已知函数
,若
在
上为减函数,则
的取值范围为（ ）

A．
B．
C．
D．

9．已知在实数集R上的可导函数
，满足
是奇函数，且
，则不等式
的解集是（ ）

A.（-∞，2） B.（2，+∞） C.（0，2） D.（-∞，1）

10．已知函数
在定义域
上是偶函数，在
上单调递增，并且

，则
的取值范围是（　 ）

A．
B．
C．
D．

11．函数
是定义在
上的奇函数，当
时，
,则方程
在
上的所有实根之和为（ ）

A．0 B．2 C．4 D．6

12．已知函数
，设两曲线
有公共点，且在该点处的切线相同，则
时，实数
的最大值是（　　）

A．
B．
C．
D．

二、填空题：（本大题有4小题，每小题5分，共20分）

13．当
时，幂函数
为减函数，则函数
.

14．已知
，则函数
的最大值为______．

15．若函数
在其定义域内的一个子区间
内存在极值，则实数
的取值范围 ．

16．将
的图像向右平移2个单位后得曲线
，将函数
的图像向下平移2个单位后得曲线
，
与
关于
轴对称，若
的最小值为
且
，则实数
的取值范围为____________．

2017届高三第二次月考数学试题（理科）答题卡

一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分)．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案



























二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）

13． 14． 15． 16．

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．（本小题满分12分）

已知实数
满足
且
．

（1）求实数
的取值范围；

（2）求
的最大值和最小值，并求此时
的值．

18.（本小题满分12分）

已知命题
，对
恒成立；命题
：关于
的方程
的一个根在（0，1）上，另一个根在（1，2）上，若
为真命题，
为假命题，求实数
的取值范围．

19．（本小题满分12分）

春节期间，某微信群主发60个随机红包（即每个人抢到的红包中的钱数是随机的，且每人只能抢一个），红包被一抢而空，后据统计，60个红包中钱数（单位：元）分配如下频率分布直方图所示（其分组区间为[0，1），[1，2），[2，3），[3，4），[4，5）．

（1）试估计该群中某成员抢到钱数不小于3元的概率；

（2）若该群中成员甲、乙两人都抢到4.5元红包，现系统将从抢到4元及以上红包的人中随机抽取2人给群中每个人拜年，求甲、乙两人至少有一人被选中的概率．

20. （本小题满分12分）

如图，在直三棱柱
中，
，
，
分别为棱
的中点.

（1）求二面角
的平面角的余弦值；

（2）在线段
上是否存在一点
，使得
平面
?

若存在，确定点
的位置并证明结论；若不存在，请说明理由.

21. （本小题满分12分）

设函数

（1）若函数
在区间
上是单调递增函数，求实数
的取值范围；

（2）若函数
有两个极值点

22. （本小题满分10分）

已知函数
．

（1）当
时，求函数
的定义域；

（2）若关于
的不等式
的解集是
，求
的取值范围．

2017届高三第二次月考数学试题（理科）参考答案

1—5 BDCBC 6—10 DBDAD 11—12CD

13.2；14.13；15.
；16.

17解：（1）由
，

得32x﹣4﹣10?3x﹣2+9≤0，

即（3x﹣2﹣1）（3x﹣2﹣9）≤0，

∴1≤3x﹣2≤9，2≤x≤4

（2）因为

=
，

当
，即
时，

当log2x=1或log2x=2，即x=2或x=4时，ymax=0．

18解：由命题p知，函数（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4的最大值小于0；

a=2时，﹣4＜0，∴符合题意；

a≠2时，则a需满足：

，解得﹣2＜a＜2；

∴命题p：﹣2＜a≤2；

根据命题q，设f（x）=x2+（a﹣1）x+1，所以：

，解得
；

∴命题q：
；

若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p，q一真一假：

p真q假时，
，∴
；

p假q真时，
，∴a∈?；

∴实数a的取值范围为
．

19解：（1）根据频率分布直方图，得；

该群中抢到红包的钱数不小于3元的频率是

1﹣0.05﹣0.20﹣0.40=0.35，

∴估计该群中某成员抢到钱数不小于3元的概率是0.35；

（2）该群中抢到钱数不小于4元的频率为0.10，对应的人数是60×0.10=6，

记为1、2、3、4、甲、乙；

现从这6人中随机抽取2人，基本事件数是12，13，14，1甲，1乙，

23，24，2甲，2乙，34，3甲，3乙，4甲，4乙，甲乙共15种；

其中甲乙两人至少有一人被选中的基本事件为

1甲，1乙，2甲，2乙，3甲，3乙，4甲，4乙，甲乙共9种；

∴对应的概率为P=
=
．

20.解：（1）
为直三棱柱，
，
，
分别为棱
的中点，
建立如图所示的空间直角坐标系，则
，
，
，
，
，
，
，
.

，
.设平面
的一个法向量为
，

则
，即
，得
，
.

又平面
的一个法向量为
，
，

由图可知，二面角
的平面角为锐角，

二面角
的平面角的余弦值为
．

（2）在线段
上存在一点
，设为
，使得
平面
．

欲使
平面
，由（１）知，当且仅当
．

，
．

在线段
上存在一点
满足条件，此时点
为
的中点．

21解：（1）根据题意知：f′（x）=
在[1，+∞）上恒成立．

即a≥﹣2x2﹣2x在区间[1，+∞）上恒成立．

∵﹣2x2﹣2x在区间[1，+∞）上的最大值为﹣4，

∴a≥﹣4；

经检验：当a=﹣4时，
，x∈[1，+∞）．

∴a的取值范围是[﹣4，+∞）．

（2）
在区间（﹣1，+∞）上有两个不相等的实数根，

即方程2x2+2x+a=0在区间（﹣1，+∞）上有两个不相等的实数根．

记g（x）=2x2+2x+a，则有
，解得
．

∴
，
．

∴

令
．

，

记
．

∴
，

．

在
使得p′（x0）=0．

当
，p′（x）＜0；当x∈（x0，0）时，p′（x）＞0．

而k′（x）在
单调递减，在（x0，0）单调递增，

∵
，

∴当
，

∴k（x）在
单调递减，

即
．

22.解：(1)当
时，函数
的定义域即为不等式
的解集.

由于
，或
， 或
.

所以
，无解，或
.

综上，函数
的定义域为

（2）若使
的解集是
，则只需
恒成立.

由于
,

所以
的取值范围是
.

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