南京市2017届高三年级学情调研

数 学 2016.09

注意事项：

1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．

2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．

参考公式：

柱体的体积公式：V＝Sh，其中S为柱体的底面积，h为柱体的高．

锥体的体积公式：V＝Sh，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．

1．已知集合A＝{0，1，2}，B＝{x|x2－x≤0}，则A∩B＝ ▲ ．

2．设复数z满足(z＋i)i＝－3＋4i (i为虚数单位)，

则z的模为 ▲ ．

3．为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间[40，80]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间[40，60)内的汽车有 ▲ 辆．

4．若函数f(x)＝sin(ωx＋) (ω＞0)的最小正周期为π，

则f()的值是 ▲ ．

5．右图是一个算法的流程图，则输出k的值是 ▲ ．

6．设向量a＝(1，－4)，b＝(－1，x)，c＝a＋3b．

若a∥c，则实数x的值是 ▲ ．

7．某单位要在4名员工（含甲、乙两人）中随机选2名到某、地

出差，则甲、乙两人中，至少有一人被选中的概率是 ▲ ．

8．在平面直角坐标系xOy中，双曲线C： － ＝1（a＞0）的一条渐近线与直线y＝2x＋1平行，则实数a的值是 ▲ ．

9．在平面直角坐标系xOy中，若直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝16相交于A，B两点，且△ABC为直角三角形，则实数a的值是 ▲ ．

10．已知圆柱M的底面半径为2，高为6；圆锥N的底面直径和母线长相等．若圆柱M和圆锥N的体积相同，则圆锥N的高为 ▲ ．

11．各项均为正数的等比数列{an}，其前n项和为Sn．若a2－a5＝－78，S3＝13，则数列{an}的通项公式an＝ ▲ ．

12．已知函数f(x)＝当x∈(－∞，m] 时，f(x)的取值范围为 [－16，＋∞)，则实数m的取值范围是 ▲ ．

13.在△ABC中，已知AB＝3，BC＝2，D在AB上，＝．若·＝3，则AC的长是 ▲ ．

14．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)＋g(x)＝()x．若存在

x0∈[，1]，使得等式af(x0)＋g(2x0)＝0成立，则实数a的取值范围是 ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分14分）

如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边的锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于点A，B．若点A的横坐标是，点B的纵坐标是．

（1）求cos(α－β)的值；[来源:Z。xx。k.Com]

（2）求α＋β的值．

16．（本小题满分14分）

如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，点M，N分别为线段A1B，AC1的中点．

（1）求证：MN∥平面BB1C1C；

（2）若D在边BC上，AD⊥DC1，求证：MN⊥AD．

17．（本小题满分14分）

如图，某城市有一块半径为40 m的半圆形绿化区域（以O 为圆心，AB为直径），现计划对其进行改建．在AB的延长线上取点D，OD＝80 m，在半圆上选定一点C，改建后的绿化区域由扇形区域AOC和三角形区域COD组成，其面积为S m2．设∠AOC＝x rad．

（1）写出S关于x的函数关系式S(x)，并指出x的取值范围；

（2）试问∠AOC多大时，改建后的绿化区域面积S取得最大值．

18．（本小题满分16分）

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点（在x轴上方），连结PF1并延长交椭圆于另一点Q，设＝λ．

（1）若点P的坐标为 (1，)，且△PQF2的周长为8，求椭圆C的方程；

（2）若PF2垂直于x轴，且椭圆C的离心率

e∈[，]，求实数λ的取值范围．

19．（本小题满分16分）

已知数列{an}是公差为正数的等差数列，其前n项和为Sn，且a2·a3＝15，S4＝16．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）数列{bn}满足b1＝a1，bn＋1－bn＝．

①求数列{ bn}的通项公式；

②是否存在正整数m，n(m≠n)，使得b2，bm，bn成等差数列？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．

20．（本小题满分16分）

已知函数f(x)＝ax2－bx＋lnx，a，b∈R．

（1）当a＝b＝1时，求曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程；

（2）当b＝2a＋1时，讨论函数f(x)的单调性；

（3）当a＝1，b＞3时，记函数f(x)的导函数f ′(x)的两个零点是x1和x2 (x1＜x2)．

求证：f(x1)－f(x2)＞－ln2．

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数学附加题 2016.09

注意事项：

1．附加题供选修物理的考生使用．

2．本试卷共40分，考试时间30分钟．

3．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．

21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A．选修4—1：几何证明选讲

如图， AB为 圆O的一条弦，C为圆O外一点． CA，CB分别交圆O于D，E两点．

若AB＝AC，EF⊥AC于点F，求证：F为线段DC的中点．

B．选修4—2：矩阵与变换

已知矩阵A＝，B＝ ，设M＝AB．

（1）求矩阵M ；

（2）求矩阵M的特征值．

C．选修4—4：坐标系与参数方程

已知曲线C的极坐标方程为 (＝2cosθ，直线l的极坐标方程为 ( sin(θ＋)＝m．若直线l与曲线C有且只有一个公共点，求实数m的值．

D．选修4—5：不等式选讲

解不等式 |x－1|＋2|x|≤4x．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22．（本小题满分10分）

如图，在底面为正方形的四棱锥P－ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，点E是线段PC的中点．

（1）求异面直线AP与BE所成角的大小；

（2）若点F在线段PB上，使得二面角F－DE－

B的正弦值为，求的值．

23．（本小题满分10分）

甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一次篮，先投中者获胜．投篮进行到有人获胜或每人都已投球3次时结束．设甲每次投篮命中的概率为 ，乙每次投篮命中的概率为 ，且各次投篮互不影响．现由甲先投．

（1）求甲获胜的概率；

（2）求投篮结束时甲的投篮次数X的分布列与期望．

南京市2017届高三年级学情调研

数学参考答案及评分标准

说明：

1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，填空题不给中间分数．

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.）

1．{0，1} 2．2 3．80 4． 5．5 6．4

7． 8．1 9.－1 10．6 11．3n－1 12．[－2，8]

13． 14．[2，]

二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）

15．（本小题满分14分）

解： 因为锐角α的终边与单位圆交于A，且点A的横坐标是，

所以，由任意角的三角函数的定义可知，cosα＝，

从而sinα＝＝． …………………… 2分

因为钝角β的终边与单位圆交于点B，且点B的纵坐标是，

所以sinβ＝，从而cosβ＝－＝－． …………………… 4分

（1）cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ

＝×(－)＋×＝－． …………………… 8分

（2）sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ

＝×(－)＋×＝． …………………… 11分

因为α为锐角，β为钝角，故α＋β∈(，)，

所以α＋β＝． …………………… 14分

16．（本小题满分14分）

证明：（1）如图，连结A1C．

在直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C为平行四边形．

又因为N为线段AC1的中点，

所以A1C与AC1相交于点N，

即A1C经过点N，且N为线段A1C的中点． ……………… 2分

因为M为线段A1B的中点，

所以MN∥BC． ……………… 4分

又MN(平面BB1C1C，BC(平面BB1C1C，

所以MN∥平面BB1C1C． …………………… 6分

（2）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC．

又AD(平面ABC，所以CC1⊥AD． …………………… 8分

因为AD⊥DC1，DC1(平面BB1C1C，CC1(平面BB1C1C，CC1∩DC1＝C1，

所以AD⊥平面BB1C1C． …………………… 10分

又BC(平面BB1C1C，所以AD⊥BC． …………………… 12分

又由（1）知，MN∥BC，所以MN⊥AD． …………………… 14分

17．（本小题满分14分）

解：（1）因为扇形?AOC的半径为?40 m，∠AOC＝x?rad，

所以?扇形AOC的面积S扇形AOC＝＝800x，0＜x＜π． …………………… 2分

在△COD中，OD＝80，OC＝40，∠COD＝π－x，

所以△COD 的面积S△COD＝·OC·OD·sin∠COD＝1600sin(π－x)＝1600sinx．

…………………… 4分

从而 S＝S△COD＋S扇形AOC＝1600sinx＋800x，0＜x＜π． …………………… 6分

（2）由（1）知，?S(x)＝1600sinx＋800x，0＜x＜π．

?S′(x)＝1600cosx＋800＝1600(cosx＋)． …………………… 8分

由?S′(x)＝0，解得x＝．

从而当0＜x＜时，S′(x)＞0；当＜x＜π时， S′(x)＜0?．

因此?S(x)在区间(0，)上单调递增；在区间(，π)上单调递减． …………………… 11分

所以?当x＝，S(x)取得最大值．

答：当∠AOC为时，改建后的绿化区域面积S最大． …………………… 14分

18．（本小题满分16分）

解：（1）因为F1，F2为椭圆C的两焦点，且P，Q为椭圆上的点，

所以PF1＋PF2＝QF1＋QF2＝2a，从而△PQF2的周长为4a．

由题意，得4a＝8，解得a＝2． …………………… 2分

因为点P的坐标为 (1，)，所以＋＝1，

解得b2＝3．

所以椭圆C的方程为＋＝1． …………………… 5分

（2）方法一：因为PF2⊥x轴，且P在x轴上方，故设P(c，y0)，y0＞0．设Q(x1，y1)．

因为P在椭圆上，所以＋＝1，解得y0＝，即P(c，)． …………………… 7分

因为F1(－c，0)，所以＝(－2c，－)，＝(x1＋c，y1)．

由＝λ，得－2c＝λ(x1＋c)，－＝λy1，

解得x1＝－c，y1＝－，所以Q(－c，－)． …………………… 11分

因为点Q在椭圆上，所以()2e2＋＝1，

即(λ＋2)2e2＋(1－e2)＝λ2，(λ2＋4λ＋3)e2＝λ2－1，

因为λ＋1≠0，

所以(λ＋3)e2＝λ－1，从而λ＝＝－3． …………………… 14分

因为e∈[，]，所以≤e2≤，即≤λ≤5．

所以λ的取值范围为[，5]． …………………… 16分

方法二：因为PF2⊥x轴，且P在x轴上方，故设P(c，y0)，y0＞0．

因为P在椭圆上，所以＋＝1，解得y0＝，即P(c，)． …………………… 7分

因为F1(－c，0)，故直线PF1的方程为y＝(x＋c)．

由得(4c2＋b2)x2＋2b2cx＋c2(b2－4a2)＝0．

因为直线PF1与椭圆有一个交点为P(c，)．设Q(x1，y1)，

则x1＋c＝－，即－c－x1＝． …………………… 11分

因为＝λ，

所以λ＝＝＝＝＝＝－3． …………………… 14分

因为e∈[，]，所以≤e2≤，即≤λ≤5．

所以λ的取值范围为[，5]． …………………… 16分

19．（本小题满分16分）

解：（1）设数列{an}的公差为d，则d＞0．

由a2·a3＝15，S4＝16，得

解得 或 （舍去）

所以an＝2n－1． …………………… 4分

（2）①因为b1＝a1，bn＋1－bn＝，

所以b1＝a1＝1，

bn+1－bn＝＝＝(－)， …………………… 6分

即 b2－b1＝(1－)，

b3－b2＝(－)，

……

bn－bn－1＝(－)，（n≥2）

累加得：bn－b1＝(1－)＝， …………………… 9分

所以bn＝b1＋＝1＋＝．

b1＝1也符合上式．

故bn＝，n∈N*． …………………… 11分

②假设存在正整数m、n(m≠n)，使得b2，bm，bn成等差数列，

则b2＋bn＝2bm．

又b2＝，bn＝＝－，bm＝－，

所以＋(－)＝2(－)，即＝＋，

化简得：2m＝＝7－． …………………… 14分

当n＋1＝3，即n＝2时，m＝2，（舍去）；

当n＋1＝9，即n＝8时，m＝3，符合题意．

所以存在正整数m＝3，n＝8，使得b2，bm，bn成等差数列． …………………… 16分

20．（本小题满分16分）

解：（1）因为a＝b＝1，所以f(x)＝x?2－x＋lnx，

从而f ′(x)＝2x?－1＋．

因为f(1)＝0，f ′(1)＝2，故曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－0＝2(x－1)，

即2x－y－2＝0． …………………… 3分

（2）因为b＝2a＋1，所以f(x)＝ax2－(2a＋1)x＋lnx，

从而f ′(x)＝2ax－(2a＋1)＋＝＝