连江尚德中学2016届高三3月模拟检测（理科）数学试题

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

已知集合
，则
（A）
（B）

（C）
（D）

复数
满足
，则
在复平面内对应的点在（A）第一象限 （B）第二象限

（C）第三象限 （D）第四象限

一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（A）1 （B）2　　　　　

（C）3 （D）4

设
．若
是
与
的等比中项，则
的最小值为（A）12 （B）24

（C）25 （D）36

设
，则“
”是“
的（A）充分不必要条件

（B）必要不充分条件（C）充要条件

（D）既不充分也不必要条件

从集合
中随机选取一个数记为
，从集合
中随机选取一个数记为
，则直线
不经过第四象限的概率为　　　（A）
（B）
　　　　（C）
（D）

如图程序框图的功能是（A）求
的值（B）求
的值（C）求
的值（D）求
的值

函数
的部分图像如图所示，则
的对称轴为（A）
（B）
（C）
（D）

一个四面体的所有棱长都为
，四个顶点在同一球面上，则该球的表面积为（A）
（B）

（C）
（D）

设
满足约束条件
若
的最大值为2，则实数
的值为（A）2 （B）1 （C）
（D）

双曲线
的左、右焦点分别为
，渐近线分别为
，点
在第一象限内且在
上，若
，则该双曲线的离心率为（A）
（B）2 （C）
（D）

函数
有两个零点，则实数
的取值范围是（A）
（B）
（C）
（D）

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题第24题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

已知
，若
，则实数
　　　．

的展开式中的常数项为　　　　　　．

已知抛物线
上一点
到焦点
的距离为5，则
的面积为　　　　　　．

已知各项均为正数的数列
的前
项和为
，且
（
），若
，则数列的通项公式
　　　　　　　．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

（本小题满分12分）
的内角
所对的边分别为
，已知
．（Ⅰ）求角
的大小；（Ⅱ）若
，求
的取值范围．

（本小题满分12分）2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策。为了解适龄民众对放开生育二胎政策的态度，某市选取70后和80后作为调查对象，随机调查了100位，得到数据如下表：

生二胎

不生二胎

合计



70后

30

15

45



80后

45

10

55



合计

75

25

100





（Ⅰ）以这100个人的样本数据估计该市的总体数据,且以频率估计概率，若从该市70后公民中随机抽取3位,记其中生二胎的人数为
，求随机变量
的分布列和数学期望；（Ⅱ）根据调查数据，是否有90%以上的把握认为“生二胎与年龄有关”，并说明理由。

参考数据：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005





2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879



（参考公式：
，其中
）

（本小题满分12分）如图，在三棱柱
中，点
在平面
内的射影
为棱
的中点，侧面
是边长为2的菱形，
．（Ⅰ）证明：
平面
；（Ⅱ）求二面角
的大小．

（本小题满分12分）设椭圆
（
）过
两点，
为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆
恒有两个交点
，且
？若存在，求出该圆的方程；若不存在，说明理由。

（本小题满分12分）导数已知函数
，
．（Ⅰ）当
时，证明：
；

（Ⅱ）若
，且
，求
的取值范围。

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。

（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，在直角
中，
，
为
边上异于
的一点，以
为直径作
，分别交
于点
．（Ⅰ）证明：
四点共圆；

（Ⅱ）若
为
中点，且
，求
的长．

（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系
中，以坐标原点为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆锥曲线
的极坐标方程为
，定点
，
是圆锥曲线
的左、右焦点．直线
经过点
且平行于直线
．（Ⅰ）求圆锥曲线
的直角坐标方程和直线
的参数方程；

（Ⅱ）若直线
与圆锥曲线
交于
两点，求
．

（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数
（
）．（Ⅰ）当
时，求不等式
的解集；

（Ⅱ）若函数
的最小值为5，求
的值．

参考答案

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

（1）已知集合
，则
（A）
（B）
（C）
（D）

【答案】B．

【解析】由
，得
，由
，得
，所以

．应选B．

（2）复数
满足
，则
在复平面内对应的点在（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限

【答案】D．

【解析】因为
，所以
在复平面内对应的点为
，在第四象限．应选D．

（3）一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（A）1 （B）2（C）3 （D）4

【答案】B．

【解析】由图可知，该四棱锥底面边长为
，高为
，所以这个四棱锥的体积
．应选B．

（4）设
．若
是
与
的等比中项，则
的最小值为（A）12 （B）24 （C）25 （D）36

【答案】A．

【解析】依题意得，
，即
，所以
，所以
，即
，所以

，当且仅当2
时取等号．应选A．

（5）设
，则“
”是“
的（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

【答案】C．

【解析】因为函数
在
上为增函数，所以

，即
为
的充要条件．应选C．

（6）从集合
中随机选取一个数记为
，从集合
中随机选取一个数记为
，则直线
不经过第四象限的概率为（A）
（B）
（C）
（D）

【答案】C．

【解析】记基本事件为
，则事件“直线
不经过第四象限”包含基本事件
，共2个．因为所有的基本事件共有
个，所以所求概率
．应选C．

（7）如图程序框图的功能是（A）求
的值（B）求
的值（C）求
的值（D）求
的值

【答案】A．

【解析】该程序运行情况如下表所示：

0







…



结束循环





2

4

6

8

…

22





由上表可知，该程序的功能是求
的值．应选A．

（8）函数
的部分图像如图所示，则
的对称轴为（A）
（B）
（C）
（D）

【答案】C．

【解析】由图可知，
，故
，即
是
的一条对称轴．又因为
每两相邻的对称轴距离均为
，所以
的对称轴为
．应选C．

（9）一个四面体的所有棱长都为
，四个顶点在同一球面上，则该球的表面积为（A）
（B）
（C）
（D）

【答案】A．

【解析】依题意，该四面体是棱长为
的正四面体，将其放置到正方体中考虑（如图所示），其外接球与正方体的外接球相同．易得正方体的棱长为1，其体对角线长即为外接球的直径，则

，所以该球的表面积为
．应选A．

（10）设
满足约束条件

若的最大值为2，则实数
的值为（A）2 （B）1 （C）
（D）

【答案】A．

【解析】通过作图可知，当且仅当
时，可行域非空．如图所示，当目标函数
经过点
时，
，所以
．应选A．

（11）双曲线
的左、右焦点分别为
，渐近线分别
为
，点
在第一象限内且在
上，若
，则该双曲线的离心率为（A）
（B）2 （C）
（D）

【答案】B．

【解析】双曲线的渐近线方程为
，不妨
的方程分别为
．因为
，所以直线
的方程为
．由
得点
坐标为
．由
，得
，整理得，
，所以
，所以该双曲线的离心率为2．应选B．

（12）函数
有两个零点，则实数
的取值范围是（A）
（B）
（C）
（D）

【答案】D．

【解析】当
时，
为增函数，至多只有一个零点，不满足题意，淘汰A，B；当
时，函数
的图象是开口向上的抛物线，两个零点分别为
，其中
，此时函数
与
有两个交点，故方程
有两个解，即函数
有两个零点，淘汰C．应选D．

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题第24题为选考题，考生根据要求做答．

填空题：本大题共4小题，每小题5分．

（13）已知
，若
，则实数
　　　．

【答案】2．

【解析】由已知，
．因为
，所以

，解得
．应填2．

（14）
的展开式中的常数项为　　　　　　．

【答案】84。

【解析】展开式中第
项
．令
，得
，所以常数项为
．应填84．

（15）已知抛物线
上一点
到焦点
的距离为5，则
的面积为　　　　　　．

【答案】2．

【解析】由抛物线定义，
，所以
，所以，
的面积
．应填2．

（16）已知各项均为正数的数列
的前
项和为
，且
（
），若
，则数列
的通项公式
　　　　　　　．

【答案】
．

【解析】方法一：由已知，
（
），

所以
．

因为
，所以
，
．

所以，数列
是以
为首项，
为公差的等差数列，

所以
，
，所以当
时，
；当
时，上式也成立，所以
．应填
．

方法二：当
时，
，所以
；当
时，
，所以
；同理
，猜测
，下同法一．

解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

（17）（本小题满分12分）
的内角
所对的边分别为
，已知
．（Ⅰ）求角
的大小；（Ⅱ）若
，求
的取值范围．

【解析】（Ⅰ）在
中，
，

所以
． 2分

因为
，

所以
，即
， 3分

解得
． 4分

因为
，所以
． 6分

（Ⅱ）由正弦定理，
， 7分

所以
8分

． 10分

因为
，所以
， 11分

所以
，即
的取值范围为
． 12分

（18）（本小题满分12分）2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策。为了解适龄民众对放开生育二胎政策的态度，某市选取70后和80后作为调查对象，随机调查了100位，得到数据如下表：

生二胎

不生二胎

合计



70后

30

15

45



80后

45

10

55



合计

75

25

100



（Ⅰ）以这100个人的样本数据估计该市的总体数据,且以频率估计概率，若从该市70后公民中随机抽取3位,记其中生二胎的人数为
，求随机变量
的分布列和数学期望；（Ⅱ）根据调查数据，是否有90%以上的把握认为“生二胎与年龄有关”，并说明理由．

参考数据：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005





2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879



（参考公式：
，其中
）

【解析】（Ⅰ）由已知得该市70后“生二胎”的概率为
，并且
～
， 2分

所以

．

其分布列如下：

0

1

2

3















（每算对一个结果给1分） 6分

所以，
． 7分

（Ⅱ）假设生二胎与年龄无关， 8分

， 10分

所以有90%以上的把握认为“生二胎与年龄有关”． 12分

（19）（本小题满分12分）如图，在三棱柱
中，点
在平面
内的射影
为棱
的中点，侧面
是边长为2的菱形，
．（Ⅰ）证明：
平面
；（Ⅱ）求二面角
的大小．

【解析】（Ⅰ）由题意得,
平面
，所以
， 1分

因为
，
平面
，

所以
平面
， 2分

所以
． 3分

因为
为菱形，所以
， 4分

因为
平面

，所以
平面
． 5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）讨论可知，
三条直线两两垂直．以点
为原点，分别以
的方向为
轴的正方向建立空间直角坐标系
． 6分

各点坐标分别为
． 7分

由
平面
可知，
为平面
的一个法向量． 8分

设
为平面
的一个法向量，则

取
． 10分

所以
． 11分

所以二面角
的大小
． 12分

（20）（本小题满分12分）设椭圆
（
）过
两点，
为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆
的方程；（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆
恒有两个交点
，且
？若存在，求出该圆的方程；若不存在，说明理由．

【解析】（Ⅰ）因为
，所以
2分

解得
， 3分

所以椭圆
的方程为
． 4分

（Ⅱ）若存在满足题意的定圆，设该定圆半径为
，则直线
与该定圆相切，由对称性及
可知，此时直线
方程为
，其与椭圆
交于
，故
，解得
，下面说明定圆
满足题意． 6分

①由上述讨论可知，切线
于椭圆
交于
两点，满足
．由椭圆
与圆
均关于
轴对称可知，切线
也满足题意． 7分

②当切线不与
轴垂直时，设切线方程为
，交
于
．

则圆心
到切线的距离
，即
． 8分

由
得，
， 9分

所以

，且
． 10分

所以，
． 11分

所以，
，

所以
．

综上所述，存在定圆
，使得该圆的任意一条切线与椭圆
恒有两个交点
，且
． 12分

（21）（本小题满分12分）导数已知函数
，
．（Ⅰ）当
时，证明：
；（Ⅱ）若
，且
，求
的取值范围．

【解析】（Ⅰ）由题意得，
， 1分

令
，则
，

在区间
上，
，
单调递减；在区间
上，
，
单调递增． 3分

所以
的最小值为
，即
， 4分

所以函数
在区间
上单调递增，即
. 5分

（Ⅱ）令
，则
，

令
，则
，

由（1），得
，则
在区间
上单调递减. 6分

①当
时，
，且
，

在区间
上，
，
单调递增，在区间
上，
，
单调递减，

所以
的最大值为
，即
恒成立. 7分

②当
时，
，

时，
，解得