2016年永安市高三毕业班质量检查

数学（理科）试卷

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

考生注意：

1．答题前，考生务必将自己的准考号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．

2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第II卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．

3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并交回 ．

第I卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.设集合
，
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

2.复数
（i为虚数单位）的共轭复数为（ ）

A．
B．
C．
D．

3. 一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的体积是 （ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

4．已知命题
，
；命题
，
，则下列命题中为真命题的是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

5．右图给出的是计算
的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（ ）

A．
B．
C．
D．

6．等比数列
中，
，
，则数列
的前
项和等于（ ）

A．
B．
C．
D．

7．已知在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC， AC⊥BC ，AC＝ ，BC＝1 , PA＝4，则该三棱锥外接球的表面积为 （ ）

（A）

（B）
（C）
（D）

8．过双曲线
的左焦点F作圆
的切线，设切点为M，延长FM交双曲线
于点N，若点M为线段FN的中点，则双曲线C1的离心率为（ ）

(A)
+1 (B)
(C)
(D)

9.设函数
若
，则函数
的零点个数（ ）

A．2 B．3 C．4 D． 5

10．已知函数
关于直线
对称 , 且
,则
的最小值为（ ）

（A）
　（B）
　　　　（C）
　　　　（D）

11．已知点A(0，1)，直线l：y＝kx＋m与圆O：x2＋y2＝1相交于B，C两点，△ABC与△OBC的面积分别为S1，S2.若S1≥2S2，且∠BAC＝30°，则m的取值范围是（ ）

（A）． [－1，
] （B）[－1，－　] （C）[ ， 1] （D）[1，2　]

12设曲线
（
为自然对数的底数）上任意一点处的切线为
，总存在曲线
上某点处的切线
，使得
，则实数
的取值范围为（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

本卷包括必考题和选做题两部分，第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～24题为选做题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．

13.设向量
是夹角为
的单位向量，若
，则
▲ ．

14. 设
的展开式中
的系数为
，所有项的系数和
，则
▲ ．

15. 已知实数x，y满足
，若目标函数
的最大值与最小值互为相反数，则实数 m = ▲ ．

16.在公差不为0的等差数列
中，
，记
的最小值为
.若数列
满足
则
▲

三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答应写在答题卡上的指定区域内．

17.（本小题满分
分）如图,在△
中,
,
,点
在边
上,
,
,
为垂足.

(Ⅰ)若△
的面积为
,求
的长; (Ⅱ)若
,求角
的大小.

18.（本小题满分
分）

某校为选拔参加“某谜语大会”的队员，在校内组织猜灯谜竞赛．规定：第一阶段知识测试成绩不小于160分的学生进入第二阶段比赛．现有200名学生参加知识测试，并将所有测试成绩绘制成频率分布直方图(如下图所示)．

（Ⅰ）估算这200名学生测试成绩的中位数，并求进入第二阶段比赛的学生人数；

（Ⅱ）将进入第二阶段的学生分成若干队进行比赛．现甲、乙两队在比赛中均已获得120分，进入最后抢答阶段．抢答规则：抢到的队需猜3条谜语，猜对1条得20分，猜错1条扣20分．根据经验，甲队猜对每条谜语的概率均为
，乙队猜对前两条的概率均为
，猜对第3条的概率为
．若这两队抢到答题的机会均等，你作为场外观众想支持这两队中的优胜队，会把支持票投给哪一队？

19. （本小题满分
分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=2，AA1=2
，D是AA1的中点，BD与AB1交于点O，且CO⊥平面ABB1A1．

（1）证明：
.

（2）若OC=OA，求直线
与平面ABC所成角的正弦值．

20．（本小题满分
分）

已知椭圆C:
的右焦点
与抛物线M:
的焦点重合，且点
在椭圆C上.

(Ⅰ)求椭圆
的方程；

（Ⅱ）过直线
与
轴的交点
任作一条斜率不为零的直线
与椭圆
交于不同的两点
、
，点
与点
关于
轴对称，试判断:
三点是否共线?并说明理由.

（21）（本小题满分
分）

已知函数
．

（Ⅰ）证明：当
时，
；

（Ⅱ）设
，若
对任意的
恒成立，求实数
的取值范围．

四、请考生在第22～24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

22.（本小题满分10分）

如图，在三角形ABC中，
=90°，CD⊥AB于D，以C D为直径的圆分别交AC、BC于E、F。

（1）求证：
；（2）求证：
.

23.（本小题满分10分）

在平面直角坐标系中，椭圆
的参数方程为
（
为参数），已知以坐标原点为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线
的极坐标方程为
（
）（注：本题限定：
，
）

（1）把椭圆
的参数方程化为极坐标方程；

（2）设射线
与椭圆
相交于点
，然后再把射线
逆时针90°，得到射线
与椭圆
相交于点
，试确定
是否为定值，若为定值,求出此定值，若不为定值请说明理由．

24. (本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲

已知函数f（x）=|x+2|﹣2|x﹣1|

（Ⅰ）解不等式f（x）≥﹣2；

（Ⅱ）对任意
，都有
成立，求实数
的取值范围．

2016年永安市高三毕业班质量检查

数学（理科）参考答案

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

D

B

B

C

B

A

C

C

D

A

D





二、填空

13、
14、 240

15、 -1 16、

三、解答题

（17）【解析】(Ⅰ)由已知得

,

又
,
得
…………3分

在△
中,由余弦定理得

,

所以
的长为
…………………………….6分

(Ⅱ)因为
…….8分

在△
中,由正弦定理得
,又
,

得
.

解得
,又
,所以
为所求. ………….12分

18. 解法一：（Ⅰ）设测试成绩的中位数为
，由频率分布直方图得，

，

解得：
．……………………………2分

∴测试成绩中位数为
．

进入第二阶段比赛的学生人数为
人．……………4分

（Ⅱ）设最后抢答阶段甲、乙两队猜对灯谜的条数分别为
、
，

则
，……………………………6分

∴
．……………………………7分

∴最后抢答阶段甲队得分的期望为
，………………………8分

∵
，
，

，
，

∴
， …………………………………………11分

∴最后抢答阶段乙队得分的期望为
．

∵
，

∴支持票投给甲队．．……………………………12分

解法二：（Ⅰ）同解法一． ……………………………4分

（Ⅱ）设最后抢答阶段甲队获得的分数为
，

则
所有可能的取值为
，
，
，
．

，
，

，
．

∴
．……………………………8分

设最后抢答阶段乙队获得的分数为
，则
所有可能的取值为
，
，
，
．

∵
，
，

，
，

∴
，

∵
，

∴支持票投给甲队．…………………………………………12分

19. D为AA1中点，AB=2，AA1=2
，AD=
，

所以在直角三角形ABB1中，tan∠AB1B=
=
，

在直角三角形ABD中，tan∠ABD=
=
，…………2分

所以∠AB1B=∠ABD，

又∠BAB1+∠AB1B=90°，∠BAB1+∠ABD=90°，

所以在直角三角形ABO中，故∠BOA=90°，

即BD⊥AB1， …………4分

又因为CO⊥侧面ABB1A1，AB1
侧面ABB1A1，

所以CO⊥AB1

所以，AB1⊥面BCD，

因为

所以
．…………5分

（Ⅱ）解：如图，分别以OD，OB1，OC所在的直线为x，y，z轴，以O为原点，建立空间直角坐标系，则
，
，
,
…………6分

又因为
=2
，所以
…………7分

所以
=
，
=

=
，…………8分

设平面ABC的法向量为
=（x，y，z），

则根据
可得
=（1，
，﹣
）是平面ABC的一个法向量，……10分

设直线
与平面ABC所成角为α，则sinα=
=
，

所以直线CD与平面ABC所成角的正弦值为
．…………12分

20.解：(Ⅰ)由题意知,抛物线的焦点坐标为

，所以椭圆的左焦点坐标为
,又点
在椭圆C上.

即
，所以
,

椭圆
的方程为
……………4分

（Ⅱ）⑵设
，
，

……………6分

…8分

………10分

……………11分

三点共线……………12分

（21）【解析】（Ⅰ）（ⅰ）构造函数
，