准考证号_____________________姓名______________学校_____________

(在此卷上答题无效)

2016年普通高等学校招生考试永安市质检试题

数学（文）试题

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1. 已知复数
的实部为
，虚部为1，则
等于 ( )

A．
B．
C．
D．

2.向量
，
，若
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

3.设{
}是公比为正数的等比数列,若
,
则数列{
}的前7项的和为(　　)

A.63 B. 127 C. 64 D.128

4.已知双曲线
的右焦点与抛物线
的焦点重合，

且其渐近线方程为
，则双曲线
的方程为（ ）

A．
B．
C．
D．

5. 设A、B为非空集合,定义如图所示的非阴影部分表示的集合为A*B，

若

则A*B＝（ ）

A．（0，2） B．（1,2 ]

C．[0,1]∪[2，+∞） D．[0,1]∪(2，+∞)

6.点
，
，
，
均在同一球面上，且
，
，
两两垂直，且
，

，
，则该球的体积为（ ）

A．
B．
C．
D．
[:]

7.已知
是公差不为
的等差数列
的前
项和，且
，
，
成等比数列，

则
等于（ ）

A．
B．
C．
D．

8.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ）

A．56+12
B．60+12
C．30+6
D．28+6

9. 函数
的图象大致是（ ）

[:]

10.将函数
的图象上各点的横坐标压缩为原来的
倍（纵坐标不变），

所得函数在下面哪个区间单调递增（ ）

A．
B．
C．
D．

11.把一根长为
的铁丝任意折成三段，则这三段可以构成一个三角形的概率为（ ）

A.
B.
C.
D.

12.已知函数
有两个零点
，则有（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）

13. 一个算法的程序框图如右图所示,则该程序输出的结果为 .

14.已知变量
，
满足约束条件
，设
，则
的取值范围是 ．

15.椭圆C：
+

1的左右焦点为F1，F2，M为椭圆C上的动点， 则
+
的

最小值为 ．

16.已知f（x）=
+ln
，且f（3a﹣2）+f（a﹣1）＜0，则实数a的取值范围是

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤．）

17．（本小题满分12分）

设三角形
的内角
的对边分别为
，且
.

（1）求角
的大小；

（2）若
，求三角形
面积
的最大值.

18．（本小题满分12分）

某校高三某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏， 但可见部分如下图，据此解答如下问题：

（1）求分数在
之间的频数，并计算频率分布直方图中
间的矩形的高；

（2）若要从分数在
之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份在
之间的概率。

19. （本小题满分12分）

如图，
是以
为直径的圆上两点，
，
，
是
上一点，且
，将圆沿直径
折起，使点
在平面
的射影
在
上，已知
． （1）求证：
平面
； （2）求三棱锥
的体积．

20．（本小题满分12分）

已知椭圆
：
的离心率为
，以原点为圆心，椭圆
的短半轴长为半径的圆与直线
相切.

（1）求椭圆
的方程；

（2）若过点
的直线与椭圆
相交与
，
两点，
为坐标原点，则在椭圆
上是 否存在点
，使得四边形
为平行四边形？请说明理由.

21. （本小题满分14分）

已知函数
，曲线
在点
处的切线方程为
．

（1）求a，b的值；

（2）证明：当x>0，且
时，
．

四、请考生在第22～24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

22.（本小题满分10分）

如图，在三角形ABC中，
=90°，CD⊥AB于D，以CD为直径的圆分别交AC、BC于E、F。

（1）求证：
；（2）求证：
.

23.（本小题满分10分）

在平面直角坐标系中，椭圆
的参数方程为
（
为参数），已知以坐标原点为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线
的极坐标方程为
（
）（注：本题限定：
，
）

（1）把椭圆
的参数方程化为极坐标方程；

（2）设射线
与椭圆
相交于点
，然后再把射线
逆时针90°，得到射线
与椭圆
相交于点
，试确定
是否为定值，若为定值,求出此定值，若不为定值请说明理由．

24. (本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲

已知函数f（x）=|x+2|﹣2|x﹣1|

（Ⅰ）解不等式f（x）≥﹣2；

（Ⅱ）对任意
，都有
成立，求实数
的取值范围

 2016年普通高等学校招生考试永安市质检试题参考答案

DCBAD BCCAB AD

13.
14.
15.
16. （
，
）

17.解：（1）由正弦定理：
可化为
……1分

即
……………2分

即
……………3分

所以
……………4分

又
, 所以
……………5分

因为
，所以
……………6分

（2）由余弦定理得
……………7分

即
……………8分

所以
，所以
……………10分

所以三角形
面积
……………12分

18.解（1）分数在
的频率为
，……………1分

由茎叶图知：分数在
之间的频数为2，所以全班人数为25。……………3分

分数在
之间的频数为25-2-7-10-2=4，………………………………4分

频率分布直方图中
间的矩形的

高为
………………………………6分

（2）将
之间的4个分数编号为1,2,3,4,
之间的2个

分数编号为5,6，………………………………7分

在
之间的试卷中任取两份的基本事件为：(1,2 ), (1,3), (1,4), (1,5 ) (1,6 ), (2,3 ), (2,4 ), (2,5 ), (2,6), (3,4 ) (3,5 ), (3,6) (4,5 ), (4,6), (5,6 ) 有15个………………………………9分

其中至少有一份在
之间的基本的事件(1,5 ) (1,6 ) , (2,5 ), (2,6), (3,5 ), (3,6) (4,5 ), (4,6), (5,6 ) 有9个 ………………………………10分

所以至少有一份在
之间的概率概率为
……………………………………………………12分.

19.（1）证明：依题意：AD
BD……………1分

CE
平面ABD
CE
AD……………3分

BD
CE=E……………4分

平面
……………5分

（2）解：由（2）知
，

，且
………6分

∴
到
的距离等于
到
的距离为1．……………7分

．……………8分

平面
……………9分

．……………12分

20.解：（1）依题意
，……………1分

……………2分

∴
，
……………3分

∴椭圆
的方程为
……………4分

（2）由题意知直线的斜率存在，设直线的斜率为
，则其方程为
由

得
……………5分

∵
∴
……………6分

设
，
，假设在椭圆
上存在点
，使得

四边形
为平行四边形，

则有
，
，……………7分

……………8分

∴
[:.]

∴
，

……………9分

∵点
在椭圆
上∴
……………10分

即

解得：
……………11分

所以在椭圆
上存在点
，使得四边形
为平行四边形. ……………12分

21.（1）
……………1分

由于直线
的斜率为
，……………2分

且过点
，故
……………3分

即
解得
，
……………4分

（2）由（1）知
，……………5分

所以
……………6分

考虑函数


，

则
……………7分

所以当
时，
……………9分

故当
时，
当
时，
……………11分

从而当
……………12分

22. 证明：（1）∵CD为圆的直径，且E、F与C、D两点重合，

∴DF⊥BC，DE⊥AC，∵
=90°，∴四边形CEDF为矩形，

∴
，且DF//AC,DE//BC. …………1分

∵CD⊥AB于D， CD为圆的直径，∴三角形BCD和三角形ACD分别是以
和
为直角的直角三角形。…………2分

∵DF⊥BC，DE⊥AC，∴
，
(直角三角形射影定理…3分

∵DF//AC,DE//BC，∴
（平行线分线段成比例定理）……4分

∴
即
∴
. ……5分

（2）由（1）已证CD⊥AB于D∵在三角形ABC中，
=90°

∴
.
（1）……7分

又∵
（切割线定理）

∴
（2） ………… 9分

由（1）与（2）可得
∴
……10分

23.解：（1）∵椭圆
的参数方程为
（
为参数）

∴椭圆
的普通方程为
，…………2分

将一点
化为极坐标
的关系式

代入
可得：

化简得：
…………5分

（2）由（1）得椭圆的极坐标方程可化为
…………6分

由已知可得：在极坐标下，可设
，…7分

分别代入
中

有
，

，
…………9分

则
即
．故
为定值
.…………10分

24.解：（Ⅰ）f（x）=|x+2|﹣2|x﹣1|≥﹣2，

当x≤﹣2时，x﹣4≥﹣2，即x≥2，∴x∈?； …………1分

当﹣2＜x＜1时，3x≥﹣2，即 x≥﹣
，∴
﹣≤x≤1；…………2分

当 x≥1 时，﹣x+4≥﹣2，即 x≤6，∴1≤x≤6； …………3分

综上，不等式f（x）≥﹣2 的解集为：{x|﹣
≤x≤6} ……………………5分

（Ⅱ）
，

函数f（x）的图象如图所示：

令 y = x﹣a，