上高二中2016届高三数学理科卷 （5.14）

第I卷（选择题）

一、选择题（每小题5分，共60分）

1、已知集合
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2、已知
，其中

为虚数单位，则
（ ）

A、
B、
C、
D、

3．已知偶函数f(x)，当
时，
，

当
时，

则
（ ）

A．
B．1 C．3 D．

某程序框图如图所示，若输出
，则判断框中
为（ ）

A．
？

B．
？

C．
？

D．
？

5．如图所示，函数
离
轴最近的零点与最大值均在抛物线
上，则
＝（ ）

A．
B．

C.
D．

6．二项式
(
)的展开式的第二项的系数为
，则
的值为( )

(A)
(B)
(C)
或
(D)
或

7．已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的全面积为（ ）

A．

B．

C．

D．

8．为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，命题组指派
名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这
种题型进行改编，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为（ ）

A．
B．
C．
D．

9．若不等式组
表示的区域Ω，不等式
表示的区域为Γ，向Ω区域均匀随机撒360颗芝麻，则落在区域Γ中芝麻数约为（ ）

A．114 B．10 C．150 D．50

10．已知抛物线
的焦点F恰好是双曲线
的一个焦点，两条曲线的交点的连线过点F，则双曲线的离心率为（ ）

A．
B．
C
D ．

11、在四面体S-ABC中，
平面
，

则该四面体的外接球的表面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

12．已知函数
，若关于戈的方程

有8个不同的实数根，则由点(b，c)确定的平面区域的面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题（每小题5分，共20分）

13.已知向量
，且
与
共线，则x的值为

14．已知随机变量X服从正态分布X～N(2，σ2), P(X<4)＝0.84, 则P(X≤0)的值为 ．

15.已知函数
，若
在区间
上是增函数，则
的取值范围是 。

16．如图，已知点
在
的
边上，且
，
，
，
，则
___________．

三、解答题（共6个题，共70分）

17．已知单调递增的等比数列
满足
，且
是
的等差中项．

（1）求数列
的通项公式；

（2）设
，其前
项和为
，若
对于
恒成立，求实数
的取值范围．

18．国家“十三五”计划，提出创新兴国，实现中国创新，某市教育局为了提高学生的创新能力，把行动落到实处，举办一次物理、化学综合创新技能大赛，某校对其甲、乙、丙、丁四位学生的物理成绩（
）和化学成绩（
）进行回归分析，求得回归直线方程为
．由于某种原因，成绩表（如下表所示）中缺失了乙的物理和化学成绩．

甲

乙

丙

丁



物理成绩（x）

75

m

80

85



化学成绩（y）

80

n

85

95



综合素质

（
）

155

160

165

180



（1）请设法还原乙的物理成绩
和化学成绩
；

（2）在全市物理化学科技创新比赛中，由甲、乙、丙、丁四位学生组成学校代表队参赛．共举行3场比赛，每场比赛均由赛事主办方从学校代表中随机抽两人参赛，每场比赛所抽的选手中，只要有一名选手的综合素质分高于160分，就能为所在学校赢得一枚荣誉奖章．若记比赛中赢得荣誉奖章的枚数为
，试根据上表所提供数据，预测该校所获奖章数
的分布列与数学期望．

19．如图，在四棱锥
中，底面ABCD是菱形，
，侧面
底面ABCD，并且
，F为SD的中点.

（1）求三棱锥
的体积；

（2）求直线BD与平面FAC所成角的正弦值.

20．已知椭圆

的离心率为
，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线
相切，过点
且不垂直于x轴直线
与椭圆C相交于A、B两点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）求
的取值范围；

（3）若B点关于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点．

21、（本小题满分12分）

已知函数
是自然对数的底数，
。

（1）求函数
的单调递增区间；

（2）若
为整数，
，且当
时，
恒成立，其中
为
的导函数，求
的最大值。

请考生在第22—24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分

22．选修4-4 几何证明选讲

如图，
是圆
的直径，点
在弧
上，点
为弧
的中点，作
于点
，
与
交于点
，
与
交于点
．

（1）证明：
；

（2）若
，
，求圆
的半径．

23．选修4-4 极坐标与参数方程

已知曲线
的极坐标方程为
，曲线
（
为参数）．

（1）求曲线
的普通方程；

（2）若点
在曲线
上运动，试求出
到曲线
的距离的最小值．

24．已知函数
.

（1）若函数
的值域为
，求实数
的值；

（2）若不等式
的解集为
，且
，求实数
的取值范围.

2016届高三数学试卷（理科）答题卡

一、选择题（每小题5分，共60分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案



























二、填空题（每小题5分，共20分）

13、 14、 15、 16、

三、解答题（共6个小题，共70分）

17、（12分）

18、（12分）

19、（12分）

20、（12分）

21、（12分）

选做题

22□ 23□ 24□（10分）

22题图

2016届高三数学卷答案(5.14)

1-12 CBDDC BDAAC DA

13、
13、
15、
16、

17.试题解析：试题解析：（1）设等比数列的首项为
，公比为
，

由题意可知：
，又因为

所以
．

，解得
或
（舍）

∴

（2）由（1）知，
，

①-②得

若
对于
恒成立，则

，

令
，

则当
，

当
，
单调递减，则
的最大值为
，

故实数
的取值范围为
．

18、【解析】（1）由已知可得，
，因为回归直线
过点
，

所以
，

又
，解得
．

（2）在每场比赛中，获得一枚荣誉奖章的概率
，则
，

所以
，
，

，
．

所以预测
的分布列为：

0

1

2

3



P











故预测
．

19.试题解析：（Ⅰ）如图4，取AB的中点E，连接SE，ED，过F作
交ED于G，

因为平面
，并且

，
，

又ABCD是菱形，
，
，

且
，
，

∴三棱锥S?FAC的体积

．

（Ⅱ）连接AC，BD交于点O，取AB的中点E，连接SE，则
，
，以O为原点，AC，BD为轴建系如图所示，

设直线BD与平面FAC所成角为
，

则
，
，
，

，
，
，

所以，
，
，

设平面FAC的法向量为
，

，
，

得
，

又
，

所以
，

故直线BD与平面FAC所成角的正弦值为
．

20.试题解析：（1）由题意知
，∴
，即
，

又
，∴
，

故椭圆的方程为
．

（2）由题意知直线
的斜率存在，设直线
的方程为
，

由
，得：
，

由
，得：
，

设
，则
，
，①

∴

∴

∵
，∴
，∴
，

∴
的取值范围是
．

（3）证明：∵
两点关于x轴对称，∴
，

直线AE的方程为
，令
得：
，

又
，
，∴
，

由将①代入得：
，∴直线
与
轴交于定点
．

21.解析：（1）
.

若
，则
恒成立，所以，
在区间
上单调递增.........2分

若
，当
时，
，
在
上单调递增.

综上，当
时，
的增区间为
；当
时，
的增区间为
.

........................................................ 4分

（2）由于
，所以，

当
时，
，故
————①......6分

令
，则

函数
在
上单调递增，而

所以
在
上存在唯一