惠州市2017届高三第一次调研考试

数 学（理科）

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2．若复数
满足
，则
的实部为（ ）

A．
B．
C．1 D．

3．函数
，若
，则
的值是（ ）

A．2 B．1 C．1或2 D．1或﹣2

4．将函数
图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移
个单位，所得函数图象的解析式是（ ）

A．
B．
C．
D．

5．已知圆
截直线
所得弦长为6，则实数
的值为（ ）

A．8 B．11 C．14 D．17

6．执行如图的程序框图，则输出
的值为（ ）

A．2 B．
C．
D．

7．设
，
，若
是
和
的等比中项，

则
的最小值为（ ）

A．
B．8 C．9 D．10

8．某几何体的三视图如右图，其正视图中的曲线部分为半个圆弧，则该几何体的表面积为（ ）

A．
B．

C．
D．

9．某产品的广告费用
与销售额
的统计数据如下表：

广告费用
（万元）

1

2

4

5



销售额
（万元）

10

26

35

49



根据上表可得回归方程
的
约等于9，据 此模型预报广告费用为6万元时，销售额约为（ ）。

A．54万元 B．55万元 C．56万元 D．57万元

10．已知三棱锥
的底面是以
为斜边的等腰直角三角形，
，
，则三棱锥的外接球的球心到平面
的距离是（ ）

A．
B．1 C．
D．

11．双曲线

实轴的两个顶点为
，点
为双曲线
上除
外的一个动点，若
，则动点
的运动轨迹为（ ）

A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线

12．已知
是定义在R上的且以2为周期的偶函数，当
时，
．

如果函数
有两个零点，则实数
的值为（ ）

A．
B．
C．0 D．

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个考生都必须做答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．已知
，
，且
与
夹角为120°，则
=________.

14．已知
的展开式中含
的项的系数为30，则
________.

15．设
，变量
在约束条件
下，目标函数
的最大值为
，

则
________.

16．已知数列
满足
，则
______.

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）

在
中，角
的对边分别为
，若
．

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）若
，
的面积为
，求
边长．

18．（本小题满分12分）

4月23日是世界读书日，惠州市某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动。为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查。下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间(单位：分钟)的频率分布直方图，且将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书迷”，低于60分钟的学生称为“非读书迷”．

非读书迷

读书迷

合计



男



15





女





45



合计









（Ⅰ）根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书迷”与性别有关？

（Ⅱ）将频率视为概率，现在从该校大量学生中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中“读书迷”的人数为
，若每次抽取的结果是相互独立的，求
的分布列、数学期望
和方差
．

附：

0.100

0.050

0.025

0.010

0.001





2.706

3.841

5.024

6.635

10.828





19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥
中，
底面
，底面
是直角梯形，
，
，
，
是
上的点．

（Ⅰ）求证：平面
⊥平面
；

（Ⅱ）若
是
的中点，且二面角
的余弦值为
，求直线
与平面
所成角的正弦值．

20．（本小题满分12分）

已知点
，
，直线
与直线
相交于点
，直线
与直线
的斜率分别记为
与
，且
．

（Ⅰ）求点
的轨迹
的方程；

（Ⅱ）过定点
作直线
与曲线
交于
两点，
的面积是否存在最大值？若存在，求出
面积的最大值；若不存在，请说明理由．

21．（本小题满分12分）

已知函数
．

（Ⅰ）求函数
的单调区间；

（Ⅱ）求证：

，不等式
恒成立．

请考生在第22、23、24题中任选一题做答。答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。

22．（本小题满分10分）【选修4-1：几何证明选讲】

如图，
是
的直径，弦
与
垂直，并与
相交于点
，点
为弦
上异于点
的任意一点，连接
、
并延长交
于点
．

（Ⅰ）求证：
四点共圆；

（Ⅱ）求证：
．

23．（本小题满分10分）【选修4-4：极坐标和参数方程】

在直角坐标系
中，直线
的倾斜角为
且经过点
．以原点
为极点，以
轴非负半轴为极轴，与直角坐标系
取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线
的极坐标方程为
．

（Ⅰ）若直线
与曲线
有公共点，求
的取值范围；

（Ⅱ）设
为曲线
上任意一点，求
的取值范围．

24．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】

设函数
．

（Ⅰ）若
的解集为
，求实数
的值；

（Ⅱ）当
时，若存在
，使得不等式
成立，

求实数
的取值范围.

惠州市2017届高三第一次调研考试

数 学（理科）参考答案与评分标准

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分。

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

A

A

A

B

A

C

C

D

A

C

D



1.C【解析】由已知可得
，所以
，所以选C.

2.【解析】由
，得

，则
的实部为
，故选A．

考点：复数的代数运算

3．【解析】若
，则由
得，
，∴
．此时不成立．

若
，则由
得，
，∴
，故选A．

考点：函数的零点；函数的值．

4．【解析】将函数
的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，可得函数
的图象；再向左平移
个单位，所得函数图象的解析式为
，故选：A．

考点：三角函数的图象变换．

5．【解析】圆
，圆心
，半径
．故弦心距
．再由弦长公式可得
；故选B．

考点：直线与圆的位置关系．

6．【解析】
以4作为一个周期，所以
，故选A

7．【解析】因为
，所以
，

.

当且仅当
即
时“=”成立，故选C.

考点：基本不等式；等比数列的性质．

8．【解析】几何体是一个组合体，包括一个三棱柱和半个圆柱，三棱柱的是一个底面是腰为2的等腰直角三角形，高是3，其底面积为：
，侧面积为：
；圆柱的底面半径是1，高是3，其底面积为：
，侧面积为：