绝密★启用前

揭阳市2016年高中毕业班第二次高考模拟考试题

数学(理科)

本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．

注意事项：

1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效．

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效．

4.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷

一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

（1）函数
的定义域为

（A）
（B）
（C）
（D）

（2）已知复数
(
为虚数单位)，z的共轭复数为
，则

（A）
（B）
（C）-2 （D）2

（3）已知向量
，若
与
共线，则
的值为

（A）-3 （B）-1 （C）1 （D）3

（4）已知命题
，命题
，则下列判断正确的是

（A）命题
是假命题 （B）命题
是真命题

（C）命题
是假命题 （D）命题
是真命题

（5）某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，则所选的4人中至少有1名女生的概率为

（A）
（B）
（C）
（D）

（6）已知函数
，则不等式
的解集为

（A）
（B）
（C）
（D）

（7）如图1，圆柱形容器内盛有高度为6cm的水，若放入3个相同的铁球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径为

（A）4cm （B）3cm

（C）2cm （D）1 cm

（8）已知函数
的图象在点A
处的切线
与直线
垂直，记数列
的前n项和为
，则
的值为

（A）
（B）
（C）
（D）

（9）函数
在
的图象的大致形状是

（10）实数
满足条件
则
的取值范围为

（A）
（B）
（C）
（D）

（11）某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的表面积为

(A)
(B)

(C)
(D)16

（12）在平面直角坐标系中，过原点O的直线
与曲线
交

于不同的两点A、B，分别过A、B作x轴的垂线，与曲线

交于点C、D，则直线CD的斜率为

（A）3 （B）2 （C）1 （D）

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．

（13）某水稻品种的单株稻穗颗粒数X服从正态分布
，则
=__________．

(附：若
～
，则
=0.6826，
=0.9544.)

(14)已知双曲线
两条渐近线的夹角为
，

则该双曲线的离心率为 .

(15)执行如图3所示的程序框图，则输出的k值为 .

(16)已知等差数列
满足
，则前
项和
取

最大值时，
的值为 .

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 图3

(17)（本小题满分12分）

已知如图4，△ABC中，AD是BC边的中线，
，且

.

(Ⅰ)求△ABC的面积；

(Ⅱ)若
，求AD的长. 图4

(18)（本小题满分12分）

某人租用一块土地种植一种瓜类作物，租期5年，

根据以往的年产量数据，得到年产量频率分布直方图如

图5所示，以各区间中点值作为该区间的年产量，得到平

均年产量为455kg. 当年产量低于450 kg时，单位售价为

12元/ kg，当年产量不低于450 kg时，单位售价为10元/ kg.

（Ⅰ）求图中a的值；

（Ⅱ）以各区间中点值作为该区间的年产量，并以年

产量落入该区间的频率作为年产量取该区间中点值的概率，

求年销售额X（单位：元）的分布列； 图5

（Ⅲ）求在租期5年中，至少有2年的年销售额不低于5000元的概率．

（19）（本小题满分12分）

如图6，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形，且
，

AB=PC=2，PA=PB=
.

（Ⅰ）求证：平面
平面
；

（Ⅱ）设H是PB上的动点，求CH与平面PAB所成

最大角的正切值.

图6

（20）(本小题满分12分)

已知椭圆
：
的离心率为
，若动点A在椭圆
上，动点B在直线
上.（
为椭圆的半焦距）

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）若
(
为坐标原点)，试探究点
到直线AB的距离是否为定值；若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由.

(21)（本小题满分12分）

已知
，函数
，
是
的导函数，

（Ⅰ）当
时，求证：存在唯一的
，使得
；

（Ⅱ）若存在实数
，使得
恒成立，求
的最小值．

请考生在第（22）、（23）、（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分．

(22)(本小题满分10分)选修41：几何证明选讲

如图7所示，⊙O和⊙P相交于
两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连接DB并延长交⊙O于点E．

(Ⅰ) 若BC=2，BD=4，求AB的长；

(Ⅱ) 若AC=3，求AE的长．

(23)(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程

已知椭圆
的普通方程为：
．

(Ⅰ) 设
，求椭圆
以
为参数的参数方程；

(Ⅱ) 设
与x轴的正半轴和y轴的正半轴的交点分别为A、B，点P是
上位于第一象限的动点，求四边形AOBP面积的最大值．（其中
为坐标原点）

(24)(本小题满分10分)选修45：不等式选讲

已知
，

(Ⅰ) 若
的最小值是
，求a的值；

(Ⅱ) 求关于
的不等式
的解集．

揭阳市2016年高中毕业班第二次高考模拟考

数学(理科)参考答案及评分说明

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

四、只给整数分数．

一、选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

C

C

D

A

C

B

B

A

D

A

C



解析：（6）如右图，易得所求不等式的解集为
，

（7）设球的半径为
，依题意得
.

(8)依题意知
的图象在点A
处的切线斜率

，故
，

．

（9）由
可排除（C）、(D)，由
可排除（B）,故选(A).

(10)设
，则
为可行域内的点与原点连线的斜率，易得
，故
.

（11）该几何体为一底面边长为2，高为3的长方体挖去两个
圆柱（圆柱的底面半径为1）得到的组合体，故其表面积为：
.

(12)设直线
的方程为
，且
，故
，

，则

.

二、填空题：

题号

13

14

15

16



答案




或2

6

21



解析：(13)
=

(16)由
得
，

由

，

所以，数列
前21项都是正数，以后各项为负数，故
取最大值时，n的值为21.

三、解答题：

（17）解：(Ⅰ)∵
，∴
,---2分

即
，----------------------------------------------------3分

∴
.-------5分

(Ⅱ)解法1：由
得
，

延长AD到E，使AD=DE，连结BE，---------------6分

∵BD=DC,

∴四边形ABEC为平行四边形，∴
,且
-----------8分

设
，则
，在△ABE中，由余弦定理得：

,-----------------------10分

解得
，即AD的长为
.--------------------------------------12分

【解法2：由
得
，

在△ABC中，由余弦定理得：
,

得
，----------------------------------------------------------------------------------------------7分

由正弦定理得：
，

得
，----------------------------------------9分

∵
∴
，--------------10分

在△ADC中，
，

解得
.------------------------------------------------------12分】

【解法3：由
得
，

在△ABC中，由余弦定理得：
,

得
，--------------------------------------------------------------------------------------7分

在△ABC中，
,------------9分

在△ADC中，由
，

解得
.-------------------------------------------------------12分】

（18）解：（Ⅰ）由
，

得
，----------------------------------------------1分

由
，

得
，-----------------------------------------------3分

解得
；----------------------------------------------------5分

（Ⅱ）依题意知X的可能取值为3600、4800、5000、6000，-------------------6分

∵
，
，
，
，

∴X的分布列为

X

3600

4800

5000

6000



P

0.1

0.4

0.35

0.15



-------------------------8分

（Ⅲ）∵一年的销售额不低于5000元的概率为0.35+0.15=0.5, -------------------9分

5年中年销售额不低于5000元的年数
，

∴5年中至少有2年的年销售额不低于5000元的概率为

.-----------------12分

（19）解：(Ⅰ)证明：取AB中点O，连结PO、CO，----------1分

由PA=PB=
，AB=2，知△PAB为等腰直角三角形，

∴PO=1，PO⊥AB，-----------------------------------2分

由AB=BC=2，
，知△ABC为等边三角形，

∴
，-------------------------------------3分

由
得
,

∴PO⊥CO，-------------------------------------------------------4分

又
，∴PO⊥平面ABC，----------------------------------------------5分

又
平面PAB，∴平面