2014—2015学年漳州八校高三联考理科数学试题

（考试时间：120分钟 总分：150分）

命题人：程溪中学许飘勇 审核人：王友祥

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题:（本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的）.

1.已知集合
，为虚数单位，则下列选项正确的是（ ）

　　A．
　　　　B．
　　　C．
　　　D．

2.某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则其侧视图的面积是（ ）

A．
B．
C．1 D．

3.“mn＞0”是“方程
表示椭圆”的 ( )

A．必要且不充分条件　 B．充分且不必要条件

C．充要条件　 D．既不充分也不必要条件

4.已知具有线性相关的两个变量
之间的一组数据如下：

0

1

2

3

4





2.2

4.3

4.5

4.8

6.7



 且回归方程是
的预测值为（ ）

A．8.4 B．8.3 C．8.2 D．8.1

5. 若变量x，y满足约束条件
则
的取值范围是

A .(
，7) B.[
，5 ] C.[
，7] D. [
，7]

6.某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（　）

A．
B．

C．
D．

7.已知等比数列{an}中，a2＝1，则其前3项的和S3的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

8．在区间
上随机取一个数，则事件“
”发生的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

9．如图，棱长为的正方体
中，为线段
上的 动点，则下列结论错误的是（ ）

　 A．
　 B．平面
平面

C．
的最大值为
D．
的最小值为

10.已知集合M=N={0，1，2，3}，定义函数f：M→N，且点A（0，f（0））， B（i，f（i）），C（i+1，f（i+1）），（其中i=1，2）．若△ABC的内切圆圆心为，且满足
，则满足条件的
有（　　）

A．10个 B．12个 C．18个 D． 24个

第Ⅱ卷(非选择题 共100分)

二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分. 把答案填在答题卷中的横线上）.

11．为了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm）．根据所得数据画出样本的频率分布直方图（如右），那么在这100株树木中，底部周长小于110cm的株数是

12．已知

13．若等比数列{
}的首项为
，且
，则公比等于_____________;

14．已知F2、F1是双曲线
(a>0，b>0)的上、下焦点，点F2关于渐近线的对称点恰好落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为_____________;

15. 在实数集R中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”。类似的，我们在平面向量集
上也可以定义一个称“序”的关系，记为“
”。定义如下：对于任意两个向量
当且仅当“
”或“
”。按上述定义的关系“
”，给出如下四个命题：

①若
；

②若
，则
；

③若
，则对于任意
；

④对于任意向量
.

其中真命题的序号为__________

三、解答题：（本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.

16．（本小题满分13分）

我国政府对PM2.5采用如下标准：

PM2.5日均值m（微克/立方米）

空气质量等级





一级





二级





超标



某市环保局从180天的市区PM2.5监测数据中，随机抽取l0天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示(十位为茎，个位为叶)．

(I)求这10天数据的中位数.

(II)从这l0天的数据中任取3天的数据，记
表示空气质量达到一级的天数，求
的分布列；

(III) 以这10天的PM2.5日均值来估计这180天的空气质量情况，其中大约有多少天的空气质量达到一级．

17．（本小题满分13分）

已知
=（1，﹣
），
=（sin2x，cos2x），定义函数f（x）=

．

（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；

（Ⅱ）已知△ABC中，三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，f（
）=0．

（i）若acosB+bcosA=csinC，求角B的大小；

（ii）记g（λ）=|
+
|，若|
|=|
|=3，试求g（λ）的最小值．

18.（本小题满分13分）

如图，
是半圆
的直径，
是半圆
上除、外的一个动点，
垂直于半圆
所在的平面，
∥
，
，
，
．

⑴证明：平面
平面
；

⑵当三棱锥
体积最大时，求二面角
的余弦值．

19.（本小题满分13分）

在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-1, 0)、B(1, 0), 动点C满足条件：△ABC的周长为2＋2.记动点C的轨迹为曲线W.

(Ⅰ)求W的方程；

(Ⅱ)经过点（0, 且斜率为k的直线l与曲线W 有两个不同的交点P和Q，求k的取值范围；

（Ⅲ）已知点M（，0），N（0, 1），在(Ⅱ)的条件下，是否存在常数k，使得向量
与
共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由.

20.（本小题满分14分）

已知函数

（Ⅰ）求
处的切线方程；

（Ⅱ）若不等式
恒成立，求的取值范围；

（Ⅲ）数列
，数列
满足
的前项和
，求证：

21．（本小题满分14分）本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选两题作答，共14分．如果多做，则按所做的前两题计分．

（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换

已知在矩阵M对应的变换作用下，点A(1,0)变为A′(1,0)，点B(1,1)变为B′(2,1)．

（Ⅰ）求矩阵M；

（Ⅱ）求
，
，并猜测
（只写结果，不必证明）．

（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系
中，以
为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线
的极坐标方程为
，曲线
的参数方程为
（为参数，
）．

（Ⅰ）写出直线
的直角坐标方程；

（Ⅱ）求直线
与曲线
的交点的直角坐标.

（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲

已知
，且
，
的最小值为
．

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）解关于的不等式

．

2014—2015学年漳州八校高三联考理科数学答题卷

（考试时间：120分钟 总分：150分）

题号

一

二

16

17

18

19

20

21

总分



得分

?

?

?

?

?

?

?

?

?





选择题（每小题5分，共50分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

























二、填空题（每小题4分，共20分）

11、 ； 12、 ；

13、 ； 14、 。

15、 ；

三解答题：（本题共6个小题，共74分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

2014—2015学年漳州八校高三联考理科数学答案

一、选择题：(每小题5分，满分50分)．

1-5. CBABD 6-10. ADBCC

二、填空题：(每小题4分，满分20分)．

（11）. 70 （12）.
（13）. 3 （14） 2 （15）. ①②③

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分13分）

解:(I)10天的中位数为（38+44）/2=41（微克/立方米） -----------2分

(II)由
,
的可能值为0，1，2，3

利用

即得分布列：

0

1

2

3















 -----------10分

(III)一年中每天空气质量达到一级的概率为
，由～
, 得到
(天) ，一年中空气质量达到一级的天数为72天------13分.

17．（本小题满分13分）

18.（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）证明：因为
是直径，所以

因为
平面
，所以
，

因为
，所以
平面

因为
，
，所以
是平行四边形，

，所以
平面

因为
平面
，所以平面
平面
…………………5分

（Ⅱ）依题意，
，

由（Ⅰ）知

，

当且仅当
时等号成立 …………8分

如图所示，建立空间直角坐标系，则
，
，

，

则
，
，

，

设面
的法向量为
，
，

即

，

设面
的法向量为
，
，

即

，

可以判断
与二面角
的平面角互补

二面角
的余弦值为
.…………………13分

19.（本小题满分13分）

1解(Ⅰ) 设C（x, y）,

∵
,
,

∴
,

∴ 由定义知，动点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为2的椭圆除去与x轴的两个交点.

∴
. ∴
.

∴ W:

. …………………………………………… 5分

(Ⅱ) 设直线l的方程为
，代入椭圆方程，得
.

整理，得
. ①………………………… 7分

因为直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于

，解得
或
.

∴ 满足条件的k的取值范围为
………… 10分

（Ⅲ）设P（x1,y1）,Q(x2,y2),则
＝（x1+x2，y1+y2),

由①得
. ②

又
③

因为
，
， 所以
.……………………… 12分

所以
与
共线等价于
.

将②③代入上式，解得
.

所以不存在常数k，使得向量
与
共线. ……………………13分

20.（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）
，
，切点是
，

所以切线方程为
，即
．　 -------------3分

（Ⅱ）（法一）
，

当
时，
，
，
单调递增，

显然当
时，
，
不恒成立．　　 -------------------4分

当
时，
，
，
单调递增，

，
，
单调递减，　　 ------------------------6分

，
，

所以不等式
恒成立时，的取值范围
　　 -----------------8分

（法二）
所以不等式
恒成立，等价于
，

令
，则
，

当
时，
，
单调递减，

当
时，
，
单调递增．　　 ----------------------6分

，
．

所以不等式
恒成立时，的取值范围
． ---------------8分

（Ⅲ）
，
，

，

， ---------------------10分

由（2）知，当
时，
恒成立，即
，当且仅当
取等号．

　，
，

……

， ---------------------12分

，

令
，

则
，

，
． ---------------------14分

21. （本小题满分14分）（1）选修4-2：矩阵与变换

解：（Ⅰ）设
，则
，
， -------------1分

∴
， 解得
． -------------2分

∴
． ------------------3分

（Ⅱ）
， -------------------4分

， -----------------6分

猜测
． ----------------7分

（2）选修4-4：坐标系与参数方程

解：（Ⅰ）∵
，∴
----------------1分

∴
即所求直线
的直角坐标方程为
． ----------3分

（Ⅱ）曲线
的直角坐标方程为：
， ---------------4分

∴
，解得
或
（舍去）． -------------------6分

所以，直线
与曲线
的交点的直角坐标为
． -----------------7分

（3）选修4-5：不等式选讲

解：（Ⅰ）根据柯西不等式，有：
，------1分

∴
，当且仅当
时等号成立． ----------------2分

即
． -----------------3分

（Ⅱ）
可化为

或
或
， -----------5分

解得，
或
或
， ----------------------6分

所以，综上所述，原不等式的解集为
． -----------------------7分