成都七中2015届高中毕业班第一次诊断性检测模拟题

数学（理科参考答案）

提示：

9．构造函数
，则
，

∵任意
均有
，并且
，∴
，故函数
在上单调递减，

也就是
故选C.

10. 不妨设
，
，

，
，

．

.

，
，
，故
．

15．②④由题，“可平行性”曲线的充要条件是：对域内
都
使得
成立．①错，
，又

，显然
时不满足；②对，由
即奇函数的导函数是偶函数，对
都
使得
成立（可数形结合）；③错，
，又当时，

,当
时不合题意；④对，当
时，
，若具有“可平行性”，必要条件是：当
时，
，解得
，又
时，分段函数具有“可平行性”，
（可数形结合）．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．

16．解：（Ⅰ）设
的公差为，依题意，

有
．

联立得
，解得
．

．
……………6分

（Ⅱ）
，
．

令
，即
， ……………10分

解得
或
．

又
，
．

的最小值为． ……………12分

17．解：（Ⅰ）∵asinA=(a-b)sinB+csinC，

由正弦定理
，得
，

即
．①

由余弦定理得
，

结合
，得
． …………………………………………………6分

（Ⅱ）由 C=π-(A+B)，得sinC=sin(B+A)=sinBcosA+cosBsinA，

∵ sinC+sin(B-A)=3sin2A，

∴ sinBcosA+cosBsinA+sinBcosA-cosBsinA=6sinAcosA，

整理得sinBcosA=3sinAcosA． ………………………………………………8分

若cosA=0，即A=
时，△ABC是直角三角形，且B=
，

于是b=ctanB=2tan
=
，∴ S△ABC=
bc=
． ……………………10分

若cosA≠0，则sinB=3sinA，由正弦定理得b=3a．②

联立①②，结合c=2，解得a=
，b=
，

∴ S△ABC=
absinC=
×
×
×
=
．

综上，△ABC的面积为
或
．………………………………………12分

（Ⅱ）连
，过作
于
.由于
，故
.

过
作
于
，连
.则
，即
为二面角

的平面角.
．

，

．………………10分

．

在
中，
，
，
．

直线
与平面
所成角的大小为
． ……………12分

解法二：以为坐标原点，
为
轴建立空间直角坐标系．

，
． ………………7分

设平面
的法向量
，由

得

．

又面
法向量为
．

由
， 解得
． ………………10分

在
中，
，
，
．

直线
与平面
所成角的大小为
． ……………12分

19．解：（Ⅰ）由直方图知：

这60人的平均月收入约为
百元. ………………4分

（Ⅱ）根据频率分布直方图和统计表可知道：

[15,25)的人数为
人，其中1人不赞成．

[25,35)的人数为
人，其中2人不赞成． ………………6分

的所有可能取值为
．

，
，

，
．……………10分

的分布列为
























． ………………12分

20．(Ⅰ)解　由e＝，得c＝a，又b2＝a2－c2，所以b＝a，即a＝2b.

由左顶点M(－a,0)到直线＋＝1，即bx＋ay－ab＝0的距离d＝，

得＝，即＝，

把a＝2b代入上式，得＝，解得b＝1.所以a＝2b＝2，c＝.

所以椭圆C的方程为＋y2＝1. ………………3分

（Ⅱ）证明　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

①当直线AB的斜率不存在时，则由椭圆的对称性，可知x1＝x2，y1＝－y2.

因为以AB为直径的圆经过坐标原点，故·＝0，

即x1x2＋y1y2＝0，也就是x－y＝0，

又点A在椭圆C上，所以－y＝1，

解得|x1|＝|y1|＝.

此时点O到直线AB的距离d1＝|x1|＝.

②当直线AB的斜率存在时，

设直线AB的方程为y＝kx＋m，

所以点O到直线AB的距离d1＝＝.

综上所述，点O到直线AB的距离为定值. ………………8分

(Ⅲ)解　设直线OA的斜率为k0.

当k0≠0时，

则OA的方程为y＝k0x，OB的方程为y＝－x，

联立得同理可求得

故△AOB的面积为S＝·|x1|··|x2|＝2.

令1＋k＝t(t>1)，

则S＝2＝2，

令g(t)＝－＋＋4＝－9(－)2＋(t>1)，所以4

当k0＝0时，可求得S＝1，

故≤S≤1，故S的最小值为. ………………13分

21．解：(Ⅰ)由题意得

． ………………2分

在
上是减函数，

等价于
在
上恒成立
．…………4分

，

当且仅当
即
时取到最大值．

． ………………6分

（Ⅱ）题意等价于
．

由(Ⅰ)知
．

，
．

在
上单调递增，且
的值域为
． ………8分

当
时，
，
在
上单调递增，

与前提矛盾，无解．

当
时，
，
在
上单调递减，

．

．

当
时，
存在唯一零点
，且

时，
，
单调递减，
时，
，
单调递增，

．

设
，
，

，

单减．

．

与前提矛盾，无解．

综上所述，实数的取值范围是
． ………………14分