福州八中2015届高三上学期第一次质量检查

数学（理科）试题

考试时间：120分钟 试卷满分：150分

2014.8.29

本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)，第II卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷满分150分．考试时间120分钟．

参考公式：

样本数据x1，x2， …，xn的标准差

s=
其中
为样本平均数

锥体体积公式 V=
Sh 其中S为底面面积，h为高

柱体体积公式V=Sh 其中S为底面面积，h为高

球的表面积、体积公式
，
其中R为球的半径

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）

1．如图，在复平面内，若复数
对应的向量分别是
，

则复数
所对应的点位于

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

2. 一个简单几何体的主视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为 ① 长、宽不相等的矩形； ② 正方形；③ 圆；④ 三角形. 其中正确的是

A. ①② B. ②③

C. ③④ D. ①④

3.命题“对任意
，均有
”的否定为

A.对任意
，均有
B.对任意
，均有

C.存在
，使得
D.存在
，使得

4. 对具有线性相关关系的变量
，
，有一组观测数据(
，
)(i=1，2，…，8)，其回归直线方程是：
，且
，则实数
的值是

A．
B．
C．
D．

5. 已知
为两条不同的直线，
为一个平面。若
，则“
”是“
”的

A. 充分不必要条件 　 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 　　 D. 既不充分又不必要条件

6. 已知在各项均不为零的等差数列
中，
，数列
是等比数列，且
，则
等于

A．2 B. 4 C． 8 D. 16

7. 已知正方体的棱长为2，在正方体的外接球内任取一点，则该点落在正方体内的概率为

A．
B.

C．
D.

8. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果是9，则判断框内m的取值范围是

A.(42，56]

B.(56，72]

C.(72，90]

D.(42，90)

9. 已知向量 若

则
的值为

A.
B.
C.
D.

10. 已知集合
，若对于任意
，存在
，使得
成立，则称集合
是“
集合”. 给出下列4个集合：

①
②

③
④

其中所有“
集合”的序号是

A. ①②④ B. ②③ C. ③④ D.①③④

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．

11. 已知抛物线
的焦点是双曲线
的一个焦点，则此双曲线的实轴长为 .

12. 设变量
、
满足约束条件
，则
的最大值为 .

13. 若二项式
的展开式中的常数项为
，则
= .

14. 已知
，
.若偶函数
满足
（其中
,
为常数），且最小值为1，则
．

15.对于
个互异的实数，可以排成
行
列的矩形数阵，右图所示的
行
列的矩形数阵就是其中之一．将
个互异的实数排成
行
列的矩形数阵后，把每行中最大的数选出，记为
，并设其中最小的数为
；把每列中最小的数选出，记为
，并设其中最大的数为
.

两位同学通过各自的探究，分别得出两个结论如下：

①
和
必相等； ②
和
可能相等；

③
可能大于
； ④
可能大于
．

以上四个结论中，正确结论的序号是_______（请写出所有正确结论的序号）．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16. (本小题满分13分)

为增强市民的节能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者,其年龄频率分布直方图如图所示,其中年龄分

组区间是:
.

（Ⅰ）求图中
的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在
岁的人数;

（Ⅱ）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加中心广场的宣传活动,再从这20名中采用简单随机抽样方法选取3名志愿者担任主要负责人.记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为
,求
的分布列及数学期望.

17．（本小题满分13分）

某同学用“五点法”画函数
在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：















0













0



0



0



（Ⅰ）请写出上表的
、
、
，并直接写出函数的解析式；

（Ⅱ）将
的图象沿
轴向右平移
个单位得到函数
的图象，
、
分别为函数
图象的最高点和最低点（如图），求
的大小.

18.( 本小题满分13分)

如图直三棱柱
中，
，
是
上一点，且
平面
.

（I）求证：
平面
；

（Ⅱ）在棱
是否存在一点
，使平面
与平面
的夹角等于
，若存在，试确定
点的位置，若不存在，说明理由.

19.（本小题满分13分）

已知椭圆

的两个焦点分别为
，
，离心率为
，过
的直线
与椭圆
交于
，
两点，且
的周长为
．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）过原点
的两条互相垂直的射线与椭圆
分别交于
，
两点，证明：点
到直线
的距离为定值，并求出这个定值．

20.(本小题满分14分)

已知函数
.

（I）若函数
在定义域内为增函数，求实数
的取值范围；

（Ⅱ）在（1）的条件下，若
，
，
，求
的极小值；

(Ⅲ)设
，若函数
存在两个零点
，且满足
，问：函数
在
处的切线能否平行于
轴？若能，求出该切线方程，若不能，请说明理由.

21. 本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2小题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．

（1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换

把曲线
先进行横坐标缩为原来的一半，纵坐标保持不变的伸缩变换，再做关于
轴的反射变换变为曲线
，求曲线
的方程．

（2）（本小题满分7分）选修4一4：坐标系与参数方程

在直角坐标系
中，直线
的参数方程为：
（
为参数），以
为原点，
轴为极轴，单位长度不变，建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为：

①写出直线
和曲线
的普通方程。

②若直线
和曲线
相切，求实数
的值。

（3）（本小题满分7分）选修4一5：不等式选讲

设函数f(x)=|x－4|+
,

（Ⅰ）求f(x)的最小值m

（Ⅱ）当
(a,b,c∈R)时,求
的最小值.

福州八中2014—2015学年高三毕业班第一次质量检查

数学(理)试卷参考答案及评分标准

一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分．

三、解答题：本大题共6小题，共80分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17.解：（Ⅰ）
，
，
……………………3分

……………………6分

（Ⅱ）将
的图像沿
轴向右平移
个单位得到函数
…………7分

因为
、
分别为该图像的最高点和最低点，

所以
…………………………………………9分

所以
…………………………………………10分

………………12分

所以
…………………………………………13分

法2：

法3：利用数量积公式
，

19.解：（I）由题意知，
，所以
．

因为
所以
， 所以
．

所以椭圆
的方程为
． ------4分

（II）由题意,当直线
的斜率不存在，此时可设
，
.

又
，
两点在椭圆
上，

所以
，
．

所以点
到直线
的距离
． --------6分

当直线
的斜率存在时，设直线
的方程为
．

所以
．-----------11分

整理得
，满足
．

所以点
到直线
的距离

为定值． --------13分

20.解：（Ⅰ）

由题意，知
恒成立，即
.…… 2分

又
，当且仅当
时等号成立.

故
，所以
. ……4分

设
，⑤式变为

设
，

所以函数
在
上单调递增，

因此，
，即
也就是，
，此式与⑤矛盾.

所以
在
处的切线不能平行于
轴.……14分

21.（1）解：先伸缩变换M=
后反射变换N=
,得 A=NM=

=
……………4分

在A变换下得到曲线C为
。 ……………………………7分