合肥一六八中学高二年级2014-2015学年第一学期期末考试理科数学试卷

考试时间：
120分钟 总分：150分

第Ⅰ卷（选择题 满分50分）

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1
．两直线
和
互相垂直，则
（ ）

A．
B．
C．
或
D．
或

2．已知圆
的一条斜率为
的切线为
，且与
垂直的直线
平分该圆，则直线
的方程为（ ）

A．
B．
C．
D．

3．已知某空间几何体的正视图和侧视图相同，且如右图所示，俯视图是两个同心圆，则它的表面积为（ ）

A．
B．

C．
D．

4．下面说法正确的是（ ）

A．命题“
”的否定是“
”

B．实数
是
成立的充要条件

C．设
为简单命题，若“
”为假命题，则“
”也为假命题

D．命题“若
，则
”的为真命题

5．若
是两个不同的平面，下列四个条件：①存在一条直线
，
；②存在一个平面
，
；③存在两条平行直线
，且
，
；
④存在两条异面直线

．那么可以是
的充分条件有（ ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

6．正三棱柱
中，底面边长为
，若异面直线
与
所成的角为
，则该三棱柱的侧棱长为（ ）．

A．
或
B．
C．
D．

7．已知命题
函数
的定义域为
，命题
不等式
对一切正实数
均成立．如果，命题“
”为真命题，命题“
”为假命题，则实数
的取值范围为（ ）．

A．
B．
C．
D．无解

8．已知抛物线
上的一定点
和两个动点
、
，当

时，点
的横坐标的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

9．椭圆
的左右焦点分别为
，若椭圆
上恰好有
个不同的点
，使得
为等腰
三角形，则椭圆
的离心率的取值范围是( )

A．
B．
C．
D．

10．过椭圆
上一点
作圆
的两条切线，
为切点，过
的直线
与
轴、
轴分别交于
两点，
为坐标原点，则
的面积的最小值为(　 　)

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题 满分100分）

二、填空
题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在
答题卡的相应位置）

11．直三棱柱
的各个顶点都在同一个球面上，若
，
则此球的表面积为 ．

12．已知双曲线的方程为
，点
的坐标为
，
是圆
上的点，点
在双曲线的上支上，则
的最小值为 ．

13．一个棱长为
的正四面体纸盒内放一个正方体，若正方体可以在纸盒内任意转动，则正方体棱长的最大值为 ．

14．已知平面上点
，则满足条件的点
在平面上所组成的图形的面积为 ．

15．已知平面上的线段
及点
，任取
上一点
，线段
长度的最小值称为点
到线段
的距离，记作

①若点
，线段
，则
；

②设
是长为
的定线段，则集合
所表示的图形面积为
；

③若
，
，
，
，线段
，
，则到线段
，
距离相等的点的集合
；

④若
，
，
，
，线段
，
，则到线段
，
距离相等的点的集合
．

其中正确的有 ．

三、解答题：（本大题共6小题，共75分。解答应写出文
字说明、证明过程或演算步骤。解答写在答题卡上的指定区域内）

16．（本小题满分12分）

在
中，
边上的高所在直线的方程为
，
的平分线所在直线的方程为
，若点
的坐标为
，求
的面积．

17．（本小题满分12分）

如图所示的几何体中，四边形
为矩形，
平面
，
，
为
上的点，且
平面
．

（1）求证：
平面
；

（2）求三棱锥
的体积.

18．（本小题满分13分）

已知圆
和点
．

（1
）若过点
有且只有一条直线与圆
相切，求正数
的值，并求出切线方程；

（2）若
，过点
的圆的两条弦
，
互相垂直．

①求四边形
面积的最大值；②求
的最大值．

19．（本小题满分12分）

椭圆
的中心为坐标原点
，右焦点为
，且椭圆
过点
．
的三个顶点都在椭圆
上，设三条边的中点分别为
．

（1）求椭圆
的离心率；

（2）设
的三条边所在直线的斜率分别为
，且
．若直线
的斜率之和为
，求证：
为定值．

20．（本小题满分13分）

如图，在直角梯形
中，
，
，
，
，
为
上一点，且
，
，现沿
折叠使平面

平面
，
为
的中点．

（1）求证：

平面
；

（2）能否在边
上找到一点
使平面
与平面
所成角的余弦值为
？若存在，试确定点
的位置，若不存在请说明理由．

21．（本小题满分13分）

椭圆
的离心率为
，且以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线
相切．

（1）求椭圆
的方程；

（2）已知直线
过点
且与开口向上，顶点在原点的抛物线
切于第二象限的一点
，直线
与椭圆
交于
两点，与
轴交于
点，若
，
,且
，求抛物线
的标准方程．

合肥一六八中学高二年级2014-2015学年第一学期期末考试

理科数学试卷答案

第Ⅰ卷（选择题 满分50分）

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

C

D

A

D

C

D

B

C

B

D



第Ⅱ卷（非选择题 满分100分）

二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置）

11．
12．

13．

14．

15．①③④

三、解答题：（本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答写在答题卡上的指定区域内）

16．解：由方程组
解得顶点
．………………………2分

又
的斜率为
，且
轴是
的平分线，故直线
的斜率为
，

所在的直线方程为
．………………………6分

已知
边上的高所在的直线方程为
，故
的斜率为
，

所在的直线方程为
．………………………8分

解方程组
得顶点
的坐标为
．.………………………10分

，点
到直线
的距离

………………………12分

17．证：（1）由题意可得
是
的中点，连接

平面
，则
，而
，

∴
是
中