时间：120分钟 总分：160分

一、填空题（本题共14小题，每小题5分，共70分）

1. 在△ABC中,已知
则
▲ .

2. 已知等差数列
的前9项和
，则
▲ .

3. 不等式组
表示的平面区域的面积为 ▲ .

4. 在△ABC中，已知
，则△ABC的形状为 ▲ .

5. 数列
的前项和
,则
▲ .

6. △ABC中，若
，
和
是方程
的两个根，那么
▲ ．

7. 若不等式
恒成立，则
的取值范围是 ▲ .

8. 各项均为正数的等比数列
，若
,则
▲ ．

9. 函数
的最大值为 ▲ .

10. 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状

研究数，如他们研究过右图1中的1，3，6，

10，…，由于这些数能表示成三角形，将其称

为三角形数；类似地，称右图2中的1，4，9，

16…这样的数为正方形数，则除1外，最小的既是三角形数又是正方形数的是 ▲.

11.△ABC中，若
则
▲ .

12. 若△ABC中，
，则△ABC面积S的取值范围是 ▲ .

13. 对于数列
，定义数列
为数列
的“差数列”，若

的“差数列”的通项为
，则数列
的前n项和
▲ .

14. 对于满足
的实数，使
恒成立的x取值范围是 ▲ .

二、解答题（本题6小题，共90分，每题写出必要的文字说明和解答过程）

15. 已知锐角△ABC中，
分别为角A、B、C所对的边，且
.

(1) 求角C的大小； （2）若
,且

，求
的值.

16. 等差数列
的前项和为
，
.

（1）求数列
的通项公式； （2）令
，求
.

17. △ABC中，
分别为角A、B、C所对的边，已知
，

（1）求
的值；

（2）若
，求△ABC的面积.

18. 某种汽车购买时费用为16.9万元，每年应交付保险费、汽油费费用共1.5万元，汽车的维修费用为：第一年0.4万元，第二年0.6万元，第三年0.8万元，…依等差数列逐年递增.

（1）设该车使用n年的总费用（包括购车费用）为
试写出
的表达式；

（2）求这种汽车使用多少年报废最合算（即该车使用多少年平均费用最少）.

19. 已知二次函数
，不等式
的解集为
.

（1）求
的解析式；

（2）若函数
在
上单调，求实数的取值范围；

（3）若对于任意的x∈[－2,2]，
都成立，求实数n的最大值．

20. 已知各项均为正数的数列
的前项和为
，且对任意的
，都有
。

（1）求数列
的通项公式；　　

（2）若数列
满足
，且cn=anbn，求数列
的前项和
；

（3）在（２）的条件下，是否存在整数，使得对任意的正整数，都有
。若存在，求出的值；若不存在，试说明理由．



（2）依题，得
，
，…………………（8分）

即
，
，…………………………………（10分）

，
…………………………………………………………（12分）

…………………………………………………………………………（14分）

17. 解：(1)由正弦定理，得
，……………………（2分）

整理，得

……………………………………………………（4分）

又

…………………………………………………………………（6分）

即
.……………………………………………………………………（7分）

所以，这种汽车使用13年报废最合算. ………………………………………………（15分）

19. 解：(1)依题得，
为方程
的两个实根，……………………………（2分）

………………………………………………………（4分）

………………………………………………………………………（5分）

（2）
在
上单调，

又二次函数开口向上，对称轴
，……………………………………（7分）

…………………………（10分）

（3）依题得，
……（12分）

只要
，…………………………………………（13分）

设

当
时，
………………………………………………………（15分）

…………………………………………………………………………（16分）

20. 解：(1)当
时，
………………………………（1分）

当
时，

整理，得
………（2分）

………………………………………………………（3分）

（2）由

………………………………………………………………………（4分）

①

②

①-②，得

……………………………………………………（6分）

……………………………………………………………（8分）

（3）由（2）知，对任意
，都有
.………………………………………（10分）

因为
，

所以
.………………………………………………（14分）

故存在整数
，使得对于任意
，都有
.…………（16分）