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二项式系数的性质

制作：杨同官

（问题解决教学法试验课）

复习

1。什么叫二项式定理？通项公式？

2。什么叫二项式系数？项的系数？它们之间有什么不同？

二项式系数的性质

( a + b )1 … … … … … … … … …1 1

( a + b )2 … … … … … … … 1 2 1

( a + b )3 … … … … … … 1 3 3 1

( a + b )4 … … … … … 1 4 6 4 1

( a + b )5 … … … … … 1 5 10 10 5 1

( a + b )6 … … … … 1 6 15 20 15 6 1

… … … … … … … … …

递推法

这样的二项式系数表，早在我国南宋数学家杨辉1261 年所著的《详解九章算法》一书里就已经出现了，在这本书里，记载着类似下面的表：

这个表称为杨辉三角。在《详解九章算法》一书里，还说明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和，杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于11世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡（Blaise Pascal,1623年—1662年）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角。这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的。

定义域{0,1,2, … ,n}

当n= 6时,其图象是7个孤立点

1.对称性

在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等。

2.增减性与最大值

3.各二项式系数和

例一、选择填空：

1.( 1﹣x ) 13 的展开式中系数最小的项是 （ ）

(A)第六项 (B)第七项 （C）第八项 (D)第九项

2.一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有20个灯泡，只要有一个灯泡坏了，整串灯泡就不亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为 （ ）

(A)20 (B)219 （C）220 (D)220 － 1

C

D

4或5

-2

-1094

1093

变式：若将“只有第10项”改为“第10项”呢？

解：（1） 中间项有两项：

（2）T3， T7 ， T12 ， T13 的系数分别为：

例三、已知二项式 ( a + b )15

（1）求二项展开式中的中间项；

（2）比较T3， T7 ， T12 ， T13各项系数的大小，并说明理由。

例四、已知a,b∈N，m,n ∈Z ，且2m + n = 0，如果二项式( ax m + bx n )12 的展开式中系数最大的项恰好是常数项，求 a : b 的取值范围。

解：

令m (12 – r )+ nr = 0，将 n =﹣2m 代入，解得 r = 4

故T5 为常数项，且系数最大。

作业　　书P111习题10.4 8,9,10

　　　　苏大P126 73课 1—8

小结

（1） 二项式系数的三个性质。

（2） 数学思想：函数思想。

a 单调性；

b 图象；

c 最值。

（3） 数学方法 ： 赋值法 、递推法

研究题：求二项式 ( x + 2) 7 展开式中系数最大的项，试归纳出求形如( ax + b) n 展开式中系数最大项的方法或步骤。