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福建省福建师大附中2013届5月高考三轮模拟试卷

数学文科试题

参考公式：

锥体体积公式
，其中
为底面面积，
为高

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知函数
定义域为
，
定义域为
，则
（****）

A．
B．
C．
D．

2. 若
，则下列不等式成立的是（****）

A.
B.
C.
D.

3．若函数
是函数
的反函数，则
的值是（****）

A．
B．
C． D．

4. 设a,β分别为两个不同的平面，直线l
a，则“l丄β”是“a丄β成立的（****）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

5.要得到函数
的图象,只要将函数
的图象（****）

A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位

C．向左平移
个单位 D．向右平移
个单位

6．已知变量x，y满足约束条件
则z=x+y的最大值为（****）

A.3 B.4 C.5 D.6

7．已知函数
，则
是（****）

A．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增

B．奇函数，且在
上单调递增

C．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减

D．偶函数，且在
上单调递减

8. 在右侧程序框图中，输入
，按程序运行后输出的结果是（****）

A．3 B．4 C．5 D.6

9.若双曲线
与直线
无交点，则离心率
的取值范围（****）

A．
B．
C．
D．

10.若
为
内一点，且
，在
内随机撒一颗豆子，则此豆子落在
内的概率为（****）

A．
B．
C．
D．

11.如图，矩形
的一边
在
轴上，另外两个顶点
在函数

的图象上.若点
的坐标为

，记矩形
的周长

为
，则
（****）

A.208 B. 216 C. 212 D.220

12．已知
表示大于
的最小整数，例如
．下列命题

①函数
的值域是
；②若
是等差数列，则
也是等差数列；

③若
是等比数列，则
也是等比数列；④若
，则方程
有3个根．

正确的是（****）A．②④ B．③④ C．①③ D．①④

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填写在答题卡的相应位置．

13．已知复数
在复平面内的对应点分别为点A、B，则线段AB的中点所对应的复数是****

14．某班共有52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知3号、29号、42号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的学号是****

15.已知平面上的线段及点
，在上任取一点
，线段
长度的最小值称为点
到线段的距离，记作
．设是长为2的线段，点集
所表示图形的面积为****

16.设
为正整数，若
和
除以
的余数相同，则称
和
对
同余.记
，已知
，
，则
的值可以是**** （写出以下所有满足条件的序号）①1007；②2013；③3003；④6002

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．把解答过程填写在答题卡的相应位置．

17．（本小题满分12分）

已知函数

（1）求函数
的最小正周期和值域；

（2）已知
的内角
所对的边分别为
，若
，且
求
的面积.

18. （本小题满分12分）

已知点（1,2）是函数
的图象上一点，数列
的前n项和
.

（1）求数列
的通项公式；

（2）将数列
前30项中的第3项，第6项，…，第3k项删去，求数列
前30项中剩余项的和.

19．（本小题满分12分）

市民李生居住在甲地,工作在乙地,他的小孩就读的小学在丙地,三地之间的道路情况如图所示.假设工作日不走其它道路,只在图示的道路中往返,每次在路口选择道路是随机的.同一条道路去程与回程是否堵车互不影响.假设李生早上需要先开车送小孩去丙地小学，再返回经甲地赶去乙地上班，

（1）写出李生可能走的所有路线；（比如DDA表示走D路从甲到丙，再走D路回到甲，然后走A路到达乙）;

（2）假设从丙地到甲地时若选择走道路D会遇到拥堵，并且从甲地到乙地时若选择走道路B也会遇到拥堵，其它方向均通畅，但李生不知道相关信息，那么从出发到回到上班地没有遇到过拥堵的概率是多少？

20．（本小题满分14分）

如图，
是半圆
的直径，
是半圆
上除
、
外的一个动点，
平面
,
，
，
，
．

⑴证明：平面
平面
；

⑵试探究当
在什么位置时三棱锥
的

体积取得最大值，请说明理由并求出这个最大值．

21．（本小题满分12分）

如图，已知抛物线
的焦点在抛物线
上．

（1）求抛物线
的方程及其准线方程；

（2）过抛物线
上的动点
作抛物线
的两条切线
、
， 切点为
、
．若
、
的斜率乘积为
，且
，求
的取值范围．

22.（本小题满分14分）

已知函数
，

（1）当
且
时，证明：对
，
；

（2）若
，且
存在单调递减区间，求
的取值范围；

（3）数列
，若存在常数
，
，都有
，则称数列
有上界。已知
，试判断数列
是否有上界．

福建省福建师大附中2013届5月高考三轮模拟试卷

数学文科试题参考答案

1-5 BCCAC 6-10 DACBA 11-12 BD 13．3－i 14． 16 15.
16.①④

17．解：（1）

所以函数
的最小正周期
，值域为

（备注：当
时，求函数
的单调区间和值域？
，
，令
，则

函数
的单调递增区间为
，单调减区间为

，
，

函数
的值域为
）

,
,
,

,
,

,由正弦定理得
,

18．解：（Ⅰ）把点（1,2）代入函数
，得
.
当
时，
当
时，


经验证可知
时，也适合上式，
.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知数列
为等比数列，公比为2，故其第3项，第6项，…，第30项也为等比数列，首项
公比

为其第10项

∴此数列的和为
又数列
的前30项和为
∴所求剩余项的和为

19．⑴李生可能走的所有路线分别是：DDA，DDB，DDC，DEA，DEB，DEC，EEA，EEB， EEC，EDA，EDB，EDC共12种情况。⑵从出发到回到上班地没有遇到过拥堵的走法有：DEA，DEC，EEA，EEC共4种情况,所以从出发到回到上班地没有遇到过拥堵的概率
.

20．证明与求解：⑴因为
是直径，所以
，因为
平面
，
，因为
，所以
平面

因为
，又因为
，所以四边形
是平行四边形，所以
，所以
平面，因为
平面
，所以平面
平面

⑵依题意，
，

由⑴知

，

，
，等号当且仅当
时成立，所以当
为半圆弧中点时三棱锥
的

体积取得最大值，最大值为

（备注：此时，
，
，设三棱锥
的高为
，则
，
）．

21．解：（1）
的焦点为
，

所以
，
．

故
的方程为
，其准线方程为
．

（2）任取点
，设过点P的
的切线方程为
．

由
，得
．

由
，化简得
，

记
斜率分别为
，则
，

因为
，所以

所以
，

所以
．

22．解：⑴当
且
时，设
，
，
……1分，解
得
。

当
时，
，
单调递增；当
时，
，
单调递减，所以
在
处取最大值，即
，
，
即

（2）若
，
=

所以

因为函数
存在单调递减区间，所以
在
上有解

所以
在
上有解

所以
在
上有解，即
使得

令
，则
，研究
，当
时，

所以

（3）数列
无上界

，设
，
，由⑴得
，
，所以